การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 125 mm ที่ 1450 rpm แรงตึงคือ 1200 N ที่ด้านตึงและ 300 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 300 N

P = kW

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (18 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm ขับเฟือง B (24 ฟัน) เฟือง C (36 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (40 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1450 rpmA = 18B = 24C = 36D = 40

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 75 kW ที่ 300 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 160 MPa, σᵧ = −10 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 160 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 60° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 70 mm, E = 110 GPa) ทั้งสองยาว 500 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 200 kN จงหาระยะหด δ

P = 200 kNแท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 25 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 1 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 50 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 50 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 40 mm ตามด้วยยอด 8.8 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 40 mmx₂ = 8.8 mmn = 2

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริง k₃ = 12 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 50 kN/m และ k₂ = 5 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 8.541 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 9.49 m/s

กำลัง

P = (1200 − 300)·9.49 = 8541 W = 8.541 kW

คำตอบ

P = 8.541 kW

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 978.8 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1450·18/24 = 1088 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1088·36/40 = 978.8 rpm

คำตอบ

n_out = 978.8 rpm

อัตราทดรวม = 1.481 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 7.183 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(26000·613592) = 0.1254 rad

φ = 0.1254·180/π = 7.183°

คำตอบ

φ = 7.183°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 82.34 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2.387 × 10⁶·30/869767 = 82.34 MPa

คำตอบ

τ_max = 82.34 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 90.14 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((160 − −10)/2)² + 30²) = 90.14 MPa

คำตอบ

τ_max = 90.14 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = −17.01 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −−15·0.866 + 60·−0.5 = −17.01 MPa

คำตอบ

τ_θ = −17.01 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.1039 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·7461 = 9.621 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 200000·500/9.621 × 10⁸ = 0.1039 mm

คำตอบ

δ = 0.1039 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.189 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 50.93 MPa

σ₂ = 79.58 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50.93·1000/100000 = 0.5093 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79.58·1000/117000 = 0.6801 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.189 mm

คำตอบ

δ = 1.189 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 155.4 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1000² = 155446 N = 155.4 kN

คำตอบ

P_cr = 155.4 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 41.74 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 41.74 mm

คำตอบ

d = 41.74 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 134.2 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1196

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(40/8.8) = 0.7571

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7571/√(39.48 + 0.5731) = 0.1196

คำตอบ

ζ = 0.1196

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 7.064 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 50 + 5 = 55 kN/m

k_eq = 55·12/(55 + 12) = 9.851 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(9851/5) = 44.39 rad/s

f_n = 44.39/(2π) = 7.064 Hz

คำตอบ

f_n = 7.064 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design