ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +5 µC และประจุ +2 µC อยู่ห่างกัน 10 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 7.5 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +5 µCq₂ = +2 µCr₁ = 7.5 cmr₂ = 2.5 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

อิเล็กตรอนเข้าสู่สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นโดยเคลื่อนที่ขนานกับแผ่นด้วย 2 × 10⁷ m/s แผ่นยาว 8 cm และสนามระหว่างแผ่นคือ 3100 N/C ประจุอิเล็กตรอน 1.602 × 10⁻¹⁹ C มวล 9.109 × 10⁻³¹ kg ไม่คิดแรงโน้มถ่วง มันเบนไปด้านข้างไกลเท่าใด y เมื่อออกจากแผ่น ตอบเป็น mm

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 3100 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 1 ms ใน mJ

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 15 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 12 V พอดี 10 ms หลังเริ่ม เมื่อ R = 4.7 kΩ จงหาความจุ C ที่ต้องการ

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 10 msR = 4.7 kΩ

C = µF

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

เส้นลวดมีกระแส ขึ้นด้านบนของหน้า ผ่านสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอที่ชี้ออกจากหน้ากระดาษ ให้คลิกทิศทางของแรงแม่เหล็กที่กระทำต่อเส้นลวด

I: ขึ้นด้านบนของหน้าB: ออกจากหน้ากระดาษ

1ขึ้นด้านบนของหน้า
2ไปทางขวา
3ลงด้านล่างของหน้า
4ไปทางซ้าย

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ขดลวด 250 รอบ ขนาด 12 cm × 10 cm หมุนที่ 3600 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.4 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหาค่า rms E_rms ของ emf

N = 250A = 12 cm × 10 cmB = 0.4 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 50 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

cos φ =

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 1 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 2.078 × 10⁷ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0.075² = 7.991 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.025² = 2.877 × 10⁷ N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |7.991 × 10⁶ − 2.877 × 10⁷| = 2.078 × 10⁷ N/C

คำตอบ

E = 2.078 × 10⁷ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: y = 4.362 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

เวลาระหว่างแผ่น

t = L/v₀ = 0.08/2 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

ความเร่งด้านข้าง

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3100/9.109 × 10⁻³¹ = 5.452 × 10¹⁴ m/s²

ระยะแอ่น

y = ½·a·t² = ½·5.452 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.004362 m = 4.362 mm

คำตอบ

y = 4.362 mm

อิเล็กตรอนถูกผลักไปทางแผ่นบวก ตรงข้ามกับทิศทางของสนาม

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 2.283 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 2 + 12 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1.75 Ω

R_eq = R₁ + 1.75 = 4 + 1.75 = 5.75 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 15/5.75 = 2.609 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2.609·4 = 4.565 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.565/2 = 2.283 A

คำตอบ

I_R2 = 2.283 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.5825 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 6.923 Ω

R₃ + 6.923 = 26.92 Ω

R₂ ∥ 26.92 = 8.3 Ω

R_eq = R₁ + 8.3 = 2 + 8.3 = 10.3 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 6/10.3 = 0.5825 A

คำตอบ

I_R1 = 0.5825 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 0.7192 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0.6 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 0.6·(1 − e^−1/1) = 0.3793 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·10·0.3793² = 0.7192 mJ

คำตอบ

W = 0.7192 mJ

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: C = 1.322 µF

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

12 = 15·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(15/(15 − 12))

τ = 10/1.609 = 6.213 ms

ความจุไฟฟ้า

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

C = τ/R = 6.213/4.7 = 1.322 µF

คำตอบ

C = 1.322 µF

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ไปทางขวา

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

กฎมือขวา

ชี้นิ้วตามกระแสหรือความเร็ว โค้งนิ้วไปทาง B นิ้วหัวแม่มือบอกแรงที่กระทำต่อประจุบวก

I: ขึ้นด้านบนของหน้า, B: ออกจากหน้ากระดาษ

ทิศทางของแรง

ไปทางขวา

คำตอบ

F: ไปทางขวา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: E_rms = 319.9 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0.012 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 250·0.4·0.012·377 = 452.4 V

ค่า rms

E_rms = 452.4/√2 = 319.9 V

คำตอบ

E_rms = 319.9 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.7904

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 62.83 Ω, X_C = 31.83 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(40² + (31)²) = 50.61 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 40/50.61 = 0.7904

วงจรเป็นเชิงเหนี่ยวนำ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบตามหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.7904

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 8.944 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.1·10⁻⁶) = 22361 rad/s

I = V/R = 1/50 = 0.02 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 22361·0.02 = 447.2 Ω

V_L = I·X_L = 0.02·447.2 = 8.944 V

คำตอบ

V_L = 8.944 V

นี่คือ Q = 8.944 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism