กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ −1 µC และ +8 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 25 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −1 µCq2 = +8 µCr = 25 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 10 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 10 µC อยู่ห่างจากมันไป 8 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 2 µC อยู่ห่างจากมันไป 8 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃
q1 = 10 µCq2 = 2 µCq3 = 10 µCr13 = 8 cmr23 = 8 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1
V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 25 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 ΩR5 = 15 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 5 ms ใน mJ
Vs = 24 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms
W = mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 18 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ vC ถึง 14.4 V หา t
Vs = 12 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
ขดลวด 250 รอบมีพื้นที่ 40 cm² พลิกขดลวดกลับด้าน (หมุน 180°) ในสนามสม่ำเสมอ 0.2 T ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของขดลวด ใน 40 ms จงหา emf เหนี่ยวนำเฉลี่ย ε
N = 250A = 40 cm²B = 0.2 TΔt = 40 ms
ε = V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
ในตัวเลือกความเร็ว สนามที่ตั้งฉากกัน E = 1 × 10⁵ V/m และ B = 0.05 T ยอมให้เฉพาะไอออนที่มีอัตราเร็วค่าเดียวผ่านไปเป็นเส้นตรง จงหาอัตราเร็วนั้น v
E = 1 × 10⁵ V/mB1 = 0.05 T
v = m/s
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 60 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)
V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 10 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
ตัวต้านทาน R1 ต่ออนุกรมกับ R2 ที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C คร่อมแหล่งจ่าย 12 V (rms) 50 Hz หากระแส rms I
V = 12 V (rms)f = 50 HzR1 = 10 ΩR2 = 150 ΩC = 10 µF
I = A
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: F = 1.762 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
ประจุหลังแตะกัน
q′ = (−1 + 8)/2 = 3.5 µC
แรงใหม่
F = 8.99 × 10⁹·(3.5 × 10⁻⁶)²/0.25² = 1.762 N
คำตอบ
F = 1.762 N
ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: F = 143.3 N
กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์
แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃
F1 = k·10·10 × 10⁻¹²/0.08² = 140.5 N
F2 = k·2·10 × 10⁻¹²/0.08² = 28.09 N
ผลรวมเวกเตอร์
F = √(140.5² + 28.09²) = 143.3 N
คำตอบ
F = 143.3 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 13 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 10 + 10 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Req = R1 + 10 = 3 + 10 = 13 Ω
คำตอบ
Req = 13 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR1 = 3.842 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 15 + 8 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 1.84 Ω
R3 + 1.84 = 6.84 Ω
R2 ∥ 6.84 = 5.371 Ω
Req = R1 + 5.371 = 4 + 5.371 = 9.371 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 36/9.371 = 3.842 A
คำตอบ
IR1 = 3.842 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: W = 9.706 mJ
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms
i(∞) = Vs/R = 24/50 = 0.48 A
กระแสที่เวลาที่กำหนด
i(t) = 0.48·(1 − e−5/2) = 0.4406 A
พลังงานที่สะสม
W = ½·L·i² = ½·100·0.4406² = 9.706 mJ
คำตอบ
W = 9.706 mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: t = 62.31 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 12 + (18 − 12)·e−t/τ
แก้สมการหาเวลา
14.4 = 12 + (6)·e−t/τ → e−t/τ = (14.4 − 12)/(18 − 12) = 0.4
t = τ·ln((18 − 12)/(14.4 − 12)) = 68·ln(2.5) = 62.31 ms
คำตอบ
t = 62.31 ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ε = 10 V
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ
ΔΦ = 2·0.2·0.004 = 0.0016 Wb
emf เฉลี่ย
ε = NΔΦ/Δt = 250·0.0016/0.04 = 10 V
คำตอบ
ε = 10 V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: v = 2 × 10⁶ m/s
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
อัตราเร็วที่ถูกเลือก
ไม่เบี่ยงเบน: แรงไฟฟ้า qE สมดุลกับแรงแม่เหล็ก qvB
v = E/B1 = 1 × 10⁵/0.05 = 2 × 10⁶ m/s
คำตอบ
v = 2 × 10⁶ m/s
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: φ = −76.83 °
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.25 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−171)²) = 175.6 Ω
มุมเฟส
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−171/40) = −76.83°
คำตอบ
φ = −76.83°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: I = 0.08287 A
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
XC = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω
ส่วนที่ต่อขนาน
คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคเชิงซ้อนเพื่อแยก Zp เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 122.7 − j57.84 Ω
อิมพีแดนซ์รวม
Z = 10 + 122.7 − j57.84 = 132.7 − j57.84 Ω
|Z| = √(132.7² + 57.84²) = 144.8 Ω
กระแส
I = V/|Z| = 12/144.8 = 0.08287 A
คำตอบ
I = 0.08287 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism