ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ −4 µC และ +10 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 5 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −4 µCq₂ = +10 µCr = 5 cm

F = N

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุ +1 µC และ −1 µC อยู่ห่างกัน 12 cm จุด P อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางระหว่างประจุ 8 cm บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก จงหาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 12 cmh = 8 cm

E = N/C

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หาแรงดัน v_L คร่อมตัวเหนี่ยวนำที่ t = 1 ms

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์คร่อม R₂ ปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด หลังจาก t = 0 นานเท่าใด t กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงถึง 0.645 A

V_s = 24 VR₁ = 33 ΩR₂ = 20 ΩL = 47 mH

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

อนุภาคแอลฟา เคลื่อนที่ด้วย 8 × 10⁵ m/s ตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.1 T จงหารัศมี r ของเส้นทางวงกลมของมัน

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁵ m/sB = 0.1 T

r = cm

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 100 รอบ ความยาว 10 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 4 cm จงหาพลังงาน W ที่สะสมในสนามแม่เหล็กเมื่อมีกระแส 1 A

N = 100l = 10 cm⌀ = 4 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 500 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

P = W

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมมี R = 1 Ω, L = 1 mH และ C = 0.1 µF จงหาแบนด์วิดท์ B (ความกว้างของแถบระหว่างความถี่กำลังครึ่ง) ใน Hz

R = 1 ΩL = 1 mHC = 0.1 µF

B = Hz

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 32.36 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ประจุหลังแตะกัน

q′ = (−4 + 10)/2 = 3 µC

แรงใหม่

F = 8.99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0.05² = 32.36 N

คำตอบ

F = 32.36 N

ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 1.079 × 10⁶ N/C

ระยะทางและสนามของประจุหนึ่ง

r = √(6² + 8²) = 10 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.1² = 899000 N/C

องค์ประกอบ

องค์ประกอบตามเส้นแบ่งครึ่งหักล้างกัน

E = 2·E₁·(a/r) = 2·899000·0.6 = 1.079 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 1.079 × 10⁶ N/C

สนามชี้ขนานกับเส้นจากประจุบวกไปยังประจุลบ

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 11.75 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω

R_eq = R₁ + 3.75 = 8 + 3.75 = 11.75 Ω

คำตอบ

R_eq = 11.75 Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 1.294 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 6.667 Ω

R₃ + 6.667 = 12.67 Ω

R₂ ∥ 12.67 = 8.906 Ω

R_eq = R₁ + 8.906 = 5 + 8.906 = 13.91 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13.91 = 1.294 A

คำตอบ

I_R1 = 1.294 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_L = 0.08086 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0.24 A

แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

ที่ t = 0 แรงดันจากแหล่งจ่ายทั้งหมดตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ จากนั้นลดลงเป็นศูนย์

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/0.2 = 0.08086 V

คำตอบ

v_L = 0.08086 V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 0.316 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 สวิตช์ที่ปิดอยู่ข้าม R₂ หลังจากนั้น R₁ และ R₂ อยู่ในวงจรทั้งคู่

i(0) = 24/33 = 0.7273 A

i(∞) = 24/(33 + 20) = 0.4528 A

τ = L/R = 47/53 = 0.8868 ms

i(t) = 0.4528 + (0.7273 − 0.4528)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

e^−t/τ = (0.645 − 0.4528)/(0.7273 − 0.4528) = 0.7002

t = 0.8868·ln(1.428) = 0.316 ms

คำตอบ

t = 0.316 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: r = 16.59 cm

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

สมดุลแรง

แรงแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงทำให้เส้นทางโค้งเป็นวงกลม

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

รัศมี

r = 6.645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.1) = 0.1659 m = 16.59 cm

คำตอบ

r = 16.59 cm

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: W = 78.96 µJ

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 157.9 µH

พลังงานที่สะสม

W = ½LI² = ½·0.0001579·1² = 7.896 × 10⁻⁵ J = 78.96 µJ

คำตอบ

W = 78.96 µJ

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 84.72 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 314.2 Ω, X_C = 144.7 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(50² + (169.5)²) = 176.7 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 230/176.7 = 1.302 A

P = I²·R = 1.302²·50 = 84.72 W

คำตอบ

P = 84.72 W

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: B = 159.2 Hz

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = 1/(2π·√(0.001·0.1·10⁻⁶)) = 15915 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0.001/(0.1·10⁻⁶)) = 100

แบนด์วิดท์

B = f₀/Q = 15915/100 = 159.2 Hz

คำตอบ

B = 159.2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism