ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
−−2 µC++10 µCr = 25 cm

ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ −2 µC และ +10 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 25 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −2 µCq2 = +10 µCr = 25 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
4 cm5 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +4 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 5 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 6 µC อยู่ห่างจากมันไป 4 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 4 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 6 µCq2 = 4 µCq3 = 5 µCr13 = 4 cmr23 = 5 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 4 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​4 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 9 VR1 = 25 ΩR2 = 25 ΩR3 = 4 ΩR4 = 5 ΩR5 = 25 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
R = 33 Ωt = 0L68 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 1 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R หากระแส i ที่ t = 5 ms

i(0) = 1 AR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms
i = A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​10 Vt = 0R = 3.3 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 30 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ vC ถึง 16 V หา t

Vs = 10 VR = 3.3 kΩC = 220 µFvC(0) = 30 V
t = ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
vI = ?

ลูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเคลื่อนที่ไปทางขวาเข้าสู่บริเวณที่มีสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอชี้เข้าหน้ากระดาษ ให้คลิกทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำในลูปตามที่เห็นในรูป ขณะที่ลูปกำลังเข้าสู่สนาม

B: เข้าหน้ากระดาษกำลังเข้าสู่สนาม
  1. 1ตามเข็มนาฬิกา
  2. 2ทวนเข็มนาฬิกา
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
Bn = 600 rpm12 cm × 10 cmN = 150B = 0.5 T

ขดลวด 150 รอบ ขนาด 12 cm × 10 cm หมุนที่ 600 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.5 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหาค่า rms Erms ของ emf

N = 150A = 12 cm × 10 cmB = 0.5 Tn = 600 rpm
Erms = V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
230 V200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 200 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µF
P = W
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
120 V100 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF+−VC​

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 100 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VC = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 2.301 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ประจุหลังแตะกัน

q′ = (−2 + 10)/2 = 4 µC

แรงใหม่

F = 8.99 × 10⁹·(4 × 10⁻⁶)²/0.25² = 2.301 N

คำตอบ

F = 2.301 N

ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 183.3 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·6·5 × 10⁻¹²/0.04² = 168.6 N
F2 = k·4·5 × 10⁻¹²/0.05² = 71.92 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(168.6² + 71.92²) = 183.3 N

คำตอบ

F = 183.3 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 15.22 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​5 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω
Req = R1 + 5.217 = 10 + 5.217 = 15.22 Ω

คำตอบ

Req = 15.22 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.2884 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 25 ΩR3​ = 4 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​4 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 25 + 4 = 29 Ω
R4 ∥ 29 = 4.265 Ω
R3 + 4.265 = 8.265 Ω
R2 ∥ 8.265 = 6.211 Ω
Req = R1 + 6.211 = 25 + 6.211 = 31.21 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 9/31.21 = 0.2884 A

คำตอบ

IR1 = 0.2884 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.08835 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

การลดลงของกระแส

i(t) = 1·e−5/2.061 = 0.08835 A

คำตอบ

i = 0.08835 A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 874.1 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 10 + (30 − 10)·e−t/τ

แก้สมการหาเวลา

16 = 10 + (20)·e−t/τ → e−t/τ = (16 − 10)/(30 − 10) = 0.3
t = τ·ln((30 − 10)/(16 − 10)) = 726·ln(3.333) = 874.1 ms

คำตอบ

t = 874.1 ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ทวนเข็มนาฬิกา

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์

ฟลักซ์เข้าหน้ากระดาษเพิ่มขึ้น หรือฟลักซ์ออกจากหน้ากระดาษลดลง

สนามของกระแสเหนี่ยวนำ

กระแสเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนแปลง

สนามเหนี่ยวนำภายในลูป: ออกจากหน้ากระดาษ

ทิศทางของกระแส

กฎมือขวา: กระแสทวนเข็มนาฬิกาให้สนามพุ่งออกจากหน้ากระดาษภายในลูป

ทวนเข็มนาฬิกา

คำตอบ

ทวนเข็มนาฬิกา
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: Erms = 39.99 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s
A = 0.012 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 150·0.5·0.012·62.83 = 56.55 V

ค่า rms

Erms = 56.55/√2 = 39.99 V

คำตอบ

Erms = 39.99 V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 143 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XL = 188.5 Ω, XC = 36.17 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(80² + (152.3)²) = 172.1 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 230/172.1 = 1.337 A
P = I²·R = 1.337²·80 = 143 W

คำตอบ

P = 143 W
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VC = 152.5 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−96.32)²) = 125.2 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 120/125.2 = 0.9584 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

VC = I·XC = 0.9584·159.2 = 152.5 V

คำตอบ

VC = 152.5 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism