ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++1 µC++8 µCP30 cm

ประจุ +1 µC และประจุ +8 µC อยู่ห่างกัน 30 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 18 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q1 = +1 µCq2 = +8 µCr1 = 18 cmr2 = 12 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
L = 30 cm12°qq

ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 2 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 30 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 12° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 30 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​2 ΩB

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​15 Ω

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 ΩR5 = 15 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 ΩL22 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 1 ms ใน mJ

Vs = 15 VR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
W = mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​9 Vt = 0R = 1 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 3 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 5 ms

Vs = 9 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 3 Vt = 5 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
25 A8 Ad = 8 cmP

เส้นลวดขนานยาวสองเส้นห่างกัน 8 cm มีกระแส 25 A และ 8 A ในทิศทางตรงข้ามกัน จงหาขนาดของความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B ที่จุด P ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่างเส้นลวดทั้งสอง

I1 = 25 AI2 = 8 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
I = 3 Al = 15 cmN = 500, ⌀ 5 cm

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 500 รอบ ความยาว 15 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 5 cm จงหาพลังงาน W ที่สะสมในสนามแม่เหล็กเมื่อมีกระแส 3 A

N = 500l = 15 cm⌀ = 5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
100 V100 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µF

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 100 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
230 V50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 50 Hz หากระแส rms I

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 4.717 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E1 = k·1 × 10⁻⁶/0.18² = 277469 N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0.12² = 4.994 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |277469 − 4.994 × 10⁶| = 4.717 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 4.717 × 10⁶ N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: q = 84.96 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงไฟฟ้าจากสมดุล

องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g

F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 12° = 0.00417 N

ระยะห่าง

r = 2·L·sin θ = 2·0.3·sin 12° = 0.1247 m

ประจุ

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1247·√(0.00417/8.99 × 10⁹) = 8.496 × 10⁻⁸ C = 84.96 nC

คำตอบ

q = 84.96 nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 1.5 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​2 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 2 + 2 = 4 Ω
R2 ∥ 4 = 4·4/(4+4) = 2 Ω
Req = R1 + 2 = 6 + 2 = 8 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 12/8 = 1.5 A

คำตอบ

IR1 = 1.5 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.7434 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 4 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBR6​15 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 15 + 15 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 2.727 Ω
R3 + 2.727 = 7.727 Ω
R2 ∥ 7.727 = 3.931 Ω
Req = R1 + 3.931 = 4 + 3.931 = 7.931 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 12/7.931 = 1.513 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.513·4 = 5.948 V
IR2 = VA/R2 = 5.948/8 = 0.7434 A

คำตอบ

IR2 = 0.7434 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 0.8714 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 0.3191·(1 − e−1/0.4681) = 0.2815 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·22·0.2815² = 0.8714 mJ

คำตอบ

W = 0.8714 mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 5.361 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 9 + (3 − 9)·e−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

vC(5) = 9 + (−6)·e−5/10 = 5.361 V

คำตอบ

vC = 5.361 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: B = 165 µT

สนามแม่เหล็กของกระแส: รอบเส้นลวดตรงยาว เส้นสนามเป็นวงกลม (กฎมือขวา) โดย B = μ₀I/(2πr) ที่จุดศูนย์กลางของขดลวดวงกลมแบนที่มี N รอบ B = μ₀NI/(2R) ภายในโซลินอยด์ยาว สนามสม่ำเสมอ B = μ₀nI โดย n = N/L รอบต่อเมตร ไม่ว่ารัศมีจะเป็นเท่าใด μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A ใช้หน่วย SI (เมตรและแอมแปร์) และรวมสนามจากหลายแหล่งแบบเวกเตอร์

สนามของเส้นลวดแต่ละเส้นที่ P

B1 = 2 × 10⁻⁷·25/0.04 = 125 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·8/0.04 = 40 µT

รวมกัน

B = B₁ + B₂ = 165 µT

คำตอบ

B = 165 µT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: W = 18.51 mJ

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 4.112 mH

พลังงานที่สะสม

W = ½LI² = ½·0.004112·3² = 0.01851 J = 18.51 mJ

คำตอบ

W = 18.51 mJ
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = −53.76 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−40.93)²) = 50.74 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−40.93/30) = −53.76°

คำตอบ

φ = −53.76°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 2.228 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−25.55)²) = 103.2 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 230/103.2 = 2.228 A

คำตอบ

I = 2.228 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism