ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +2 µC และประจุ +8 µC อยู่ห่างกัน 20 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 10 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +2 µCq₂ = +8 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 5 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 1 µC อยู่ห่างจากมันไป 6 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 10 µC อยู่ห่างจากมันไป 4 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q₁ = 1 µCq₂ = 10 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 1.5 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R หากระแส i ที่ t = 1 ms

i(0) = 1.5 AR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 24 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 11.4 V หา t

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

อนุภาคแอลฟา เคลื่อนที่เป็นวงกลมในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 1.5 T จงหาเวลา T ที่ใช้ในการหมุนหนึ่งรอบ

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CB = 1.5 T

T = ns

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

กระแสในตัวเหนี่ยวนำ 40 mH เปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอจาก 1 A เป็น 2.5 A ใน 50 ms จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำในตัวเอง ε

L = 40 mH1 A → 2.5 AΔt = 50 ms

ε = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 50 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF

cos φ =

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 2 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 2 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 5.394 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.1² = 1.798 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.1² = 7.192 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |1.798 × 10⁶ − 7.192 × 10⁶| = 5.394 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 5.394 × 10⁶ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 281.2 N

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F₁ = k·1·5 × 10⁻¹²/0.06² = 12.49 N

F₂ = k·10·5 × 10⁻¹²/0.04² = 280.9 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(12.49² + 280.9²) = 281.2 N

คำตอบ

F = 281.2 N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.2491 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 10·11/(10+11) = 5.238 Ω

R_eq = R₁ + 5.238 = 20 + 5.238 = 25.24 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 12/25.24 = 0.4755 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.4755·20 = 2.491 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.491/10 = 0.2491 A

คำตอบ

I_R2 = 0.2491 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 7.355 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 4.2 Ω

R₃ + 4.2 = 10.2 Ω

R₂ ∥ 10.2 = 3.355 Ω

R_eq = R₁ + 3.355 = 4 + 3.355 = 7.355 Ω

คำตอบ

R_eq = 7.355 Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.5518 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

การลดลงของกระแส

i(t) = 1.5·e^−1/1 = 0.5518 A

คำตอบ

i = 0.5518 A

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 120.4 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 6 + (24 − 6)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

11.4 = 6 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11.4 − 6)/(24 − 6) = 0.3

t = τ·ln((24 − 6)/(11.4 − 6)) = 100·ln(3.333) = 120.4 ms

คำตอบ

t = 120.4 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: T = 86.87 ns

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

คาบของการเคลื่อนที่เป็นวงกลม

อนุภาคที่เร็วกว่าเคลื่อนที่ในวงกลมที่ใหญ่กว่า ดังนั้นเวลาต่อหนึ่งรอบจึงเท่าเดิม

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6.645 × 10⁻²⁷/(3.204 × 10⁻¹⁹·1.5) = 86.87 ns

คำตอบ

T = 86.87 ns

ไม่ต้องใช้อัตราเร็ว: นี่คือเหตุผลที่ไซโคลตรอนใช้ความถี่คงที่ค่าเดียวได้

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 1.2 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf เหนี่ยวนำในตัวเอง

emf ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เลนซ์) ดังนั้นเครื่องหมายตรงข้ามกับ ΔI; ขนาดคือ L·|ΔI|/Δt

ε = L·ΔI/Δt = 0.04·1.5/0.05 = 1.2 V

คำตอบ

ε = 1.2 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.9689

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 6.283 Ω, X_C = 31.83 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(100² + (−25.55)²) = 103.2 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 100/103.2 = 0.9689

วงจรเป็นเชิงความจุ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบนำ

คำตอบ

cos φ = 0.9689

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 103.1 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.47·10⁻⁶) = 20628 rad/s

I = V/R = 2/2 = 1 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 20628·0.005 = 103.1 Ω

V_L = I·X_L = 1·103.1 = 103.1 V

คำตอบ

V_L = 103.1 V

นี่คือ Q = 51.57 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism