ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++4 µC−−1 µCP40 cm

ประจุ +4 µC และประจุ −1 µC อยู่ห่างกัน 40 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 16 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q1 = +4 µCq2 = −1 µCr1 = 16 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
10 cm10 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +2 µC+q2​ = +2 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 2 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 1 µC อยู่ห่างจากมันไป 10 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 2 µC อยู่ห่างจากมันไป 10 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 1 µCq2 = 2 µCq3 = 2 µCr13 = 10 cmr23 = 10 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 5 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​12 Ω

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 ΩR5 = 20 ΩR6 = 12 Ω
IR2 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​6 Vt = 0R = 15 ΩL33 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 5 ms ใน mJ

Vs = 6 VR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms
W = mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​15 Vเปิดที่ t = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 3.3 kΩC68 µF+−vC​

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 300 ms

Vs = 15 VR1 = 6.8 kΩR2 = 3.3 kΩC = 68 µFt = 300 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
−v = 5 × 10⁶ m/sr = 2.843 cmB = ?

อิเล็กตรอน เคลื่อนที่ด้วย 5 × 10⁶ m/s เข้าสู่สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอเป็นมุมฉากและเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี 2.843 cm จงหาความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁶ m/sr = 2.843 cm
B = mT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
E = 1 × 10⁴ V/m, B1​ = 0.1 T

ในตัวเลือกความเร็ว สนามที่ตั้งฉากกัน E = 1 × 10⁴ V/m และ B = 0.1 T ยอมให้เฉพาะไอออนที่มีอัตราเร็วค่าเดียวผ่านไปเป็นเส้นตรง จงหาอัตราเร็วนั้น v

E = 1 × 10⁴ V/mB1 = 0.1 T
v = m/s
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
Vf0​ = 1000 HzRL = 20 mHC = ?

วงจร RLC อนุกรมที่มี L = 20 mH ต้องเรโซแนนซ์ที่ 1000 Hz จงหาความจุ C ที่ต้องการ

f0 = 1000 HzL = 20 mH
C = µF
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
1 Vf0​R = 5 ΩL = 10 mHC = 10 µF

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 1 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms VL ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 1 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 10 µF
VL = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 1.561 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.16² = 1.405 × 10⁶ N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0.24² = 156076 N/C

ทิศทางและผลรวม

สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน

E = |1.405 × 10⁶ + 156076| = 1.561 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 1.561 × 10⁶ N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 4.02 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·1·2 × 10⁻¹²/0.1² = 1.798 N
F2 = k·2·2 × 10⁻¹²/0.1² = 3.596 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(1.798² + 3.596²) = 4.02 N

คำตอบ

F = 4.02 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 17.71 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 12 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 12 + 8 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Req = R1 + 5.714 = 12 + 5.714 = 17.71 Ω

คำตอบ

Req = 17.71 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.7834 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​3 ΩBR6​12 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 20 + 12 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 2.743 Ω
R3 + 2.743 = 17.74 Ω
R2 ∥ 17.74 = 9.402 Ω
Req = R1 + 9.402 = 5 + 9.402 = 14.4 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 24/14.4 = 1.666 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1.666·5 = 15.67 V
IR2 = VA/R2 = 15.67/20 = 0.7834 A

คำตอบ

IR2 = 0.7834 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W = 2.124 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2.2 ms
i(∞) = Vs/R = 6/15 = 0.4 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = 0.4·(1 − e−5/2.2) = 0.3588 A

พลังงานที่สะสม

W = ½·L·i² = ½·33·0.3588² = 2.124 mJ

คำตอบ

W = 2.124 mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 1.287 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

vC(0) = 15·3.3/(6.8 + 3.3) = 4.901 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R2·C = 3.3·68 = 224.4 ms

การคายประจุ

vC(t) = 4.901·e−300/224.4 = 1.287 V

คำตอบ

vC = 1.287 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: B = 1 mT

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

สนามจากรัศมี

B = mv/(|q|r) = 9.109 × 10⁻³¹·5 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.02843) = 1 mT

คำตอบ

B = 1 mT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: v = 100000 m/s

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

อัตราเร็วที่ถูกเลือก

ไม่เบี่ยงเบน: แรงไฟฟ้า qE สมดุลกับแรงแม่เหล็ก qvB

v = E/B1 = 1 × 10⁴/0.1 = 100000 m/s

คำตอบ

v = 100000 m/s
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: C = 1.267 µF

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.02) = 1.267 µF

คำตอบ

C = 1.267 µF
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VL = 6.325 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s
I = V/R = 1/5 = 0.2 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

XL = ω₀L = 3162·0.01 = 31.62 Ω
VL = I·XL = 0.2·31.62 = 6.325 V

คำตอบ

VL = 6.325 V

นี่คือ Q = 6.325 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism