ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +10 µC และ +5 µC อยู่ห่างกัน 80 cm ที่ระยะ x จากประจุ +10 µC บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์

q₁ = +10 µCq₂ = +5 µCd = 80 cm

x = cm

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 10 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 100 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 20° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 100 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 5 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 50 ms

V_s = 10 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 68 µFt = 50 ms

v_C = V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์คร่อม R₂ เปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์ปิดและลัดวงจร R₂ หลังจาก t = 0 นานเท่าใด t กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงถึง 0.736 A

V_s = 20 VR₁ = 22 ΩR₂ = 20 ΩL = 68 mH

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

เส้นลวดขนานยาวสองเส้นห่างกัน 4 cm มีกระแส 30 A และ 8 A ในทิศทางเดียวกัน จงหาขนาดของความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B ที่จุด P ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่างเส้นลวดทั้งสอง

I₁ = 30 AI₂ = 8 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

กระแสในตัวเหนี่ยวนำ 20 mH เปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอจาก 2.5 A เป็น 1 A ใน 2 ms จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำในตัวเอง ε

L = 20 mH2.5 A → 1 AΔt = 2 ms

ε = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 60 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

P = W

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 200 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f₀ ของวงจร

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

f₀ = Hz

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: x = 46.86 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

สนามเท่ากัน

10/x² = 5/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(5/10) = 0.7071

ตำแหน่ง

x = 80/(1 + 0.7071) = 46.86 cm

คำตอบ

x = 46.86 cm

จุดที่สนามเป็นศูนย์อยู่ใกล้ประจุที่เล็กกว่าเสมอ

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: q = 1363 nC

แรงไฟฟ้าจากสมดุล

องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g

F = m·g·tan θ = 0.01·9.81·tan 20° = 0.03571 N

ระยะห่าง

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 20° = 0.684 m

ประจุ

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.684·√(0.03571/8.99 × 10⁹) = 1.363 × 10⁻⁶ C = 1363 nC

คำตอบ

q = 1363 nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.6397 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 4·25/(4+25) = 3.448 Ω

R_eq = R₁ + 3.448 = 20 + 3.448 = 23.45 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 15/23.45 = 0.6397 A

คำตอบ

I_R1 = 0.6397 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 16.69 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 10 + 8 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 8.182 Ω

R₃ + 8.182 = 20.18 Ω

R₂ ∥ 20.18 = 6.687 Ω

R_eq = R₁ + 6.687 = 10 + 6.687 = 16.69 Ω

คำตอบ

R_eq = 16.69 Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 0.9501 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา R_th เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·4.7/(6.8 + 4.7) = 2.779 kΩ

v_C(∞) = 10·4.7/(6.8 + 4.7) = 4.087 V

ค่าคงตัวเวลา

τ = R_th·C = 2.779·68 = 189 ms

เส้นโค้งการประจุ

v_C(t) = 4.087·(1 − e^−50/189) = 0.9501 V

คำตอบ

v_C = 0.9501 V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 2.833 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 ตัวต้านทานทั้งสองอยู่ในวงจร หลังจากนั้นสวิตช์ที่ปิดข้าม R₂

i(0) = 20/(22 + 20) = 0.4762 A

i(∞) = 20/22 = 0.9091 A

τ = L/R = 68/22 = 3.091 ms

i(t) = 0.9091 + (0.4762 − 0.9091)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

e^−t/τ = (0.736 − 0.9091)/(0.4762 − 0.9091) = 0.3998

t = 3.091·ln(2.501) = 2.833 ms

คำตอบ

t = 2.833 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: B = 220 µT

สนามแม่เหล็กของกระแส: รอบเส้นลวดตรงยาว เส้นสนามเป็นวงกลม (กฎมือขวา) โดย B = μ₀I/(2πr) ที่จุดศูนย์กลางของขดลวดวงกลมแบนที่มี N รอบ B = μ₀NI/(2R) ภายในโซลินอยด์ยาว สนามสม่ำเสมอ B = μ₀nI โดย n = N/L รอบต่อเมตร ไม่ว่ารัศมีจะเป็นเท่าใด μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A ใช้หน่วย SI (เมตรและแอมแปร์) และรวมสนามจากหลายแหล่งแบบเวกเตอร์

สนามของเส้นลวดแต่ละเส้นที่ P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·30/0.02 = 300 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·8/0.02 = 80 µT

รวมกัน

B = |B₁ − B₂| = 220 µT

คำตอบ

B = 220 µT

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 15 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf เหนี่ยวนำในตัวเอง

emf ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เลนซ์) ดังนั้นเครื่องหมายตรงข้ามกับ ΔI; ขนาดคือ L·|ΔI|/Δt

ε = L·ΔI/Δt = 0.02·1.5/0.002 = 15 V

คำตอบ

ε = 15 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 0.0356 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 75.4 Ω, X_C = 564.4 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(60² + (−489)²) = 492.6 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 12/492.6 = 0.02436 A

P = I²·R = 0.02436²·60 = 0.0356 W

คำตอบ

P = 0.0356 W

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: f₀ = 277.1 Hz

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·2.2·10⁻⁶)) = 277.1 Hz

คำตอบ

f₀ = 277.1 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism