ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +6 µC และประจุ +3 µC อยู่ห่างกัน 50 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 37.5 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCr₁ = 37.5 cmr₂ = 12.5 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 8 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 40 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 5° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 40 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 2 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R จงหาแรงดัน v_R ตกคร่อม R ที่ t = 1 ms

i(0) = 2 AR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์คร่อม R₂ ปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแสตัวเหนี่ยวนำ i ที่ t = 10 ms

V_s = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms

i = A

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ลูปวงกลมวางในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอที่ชี้เข้าหน้ากระดาษ ความแรงของสนามกำลังลดลง ให้คลิกทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำในลูปตามที่เห็นในรูป

B: เข้าหน้ากระดาษdB/dt < 0

1ตามเข็มนาฬิกา
2ทวนเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

กระแสในตัวเหนี่ยวนำ 200 mH เปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอจาก 6 A เป็น 2 A ใน 5 ms จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำในตัวเอง ε

L = 200 mH6 A → 2 AΔt = 5 ms

ε = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 230 V (rms) 100 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mH

φ = °

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมมี R = 15 Ω, L = 200 mH และ C = 0.47 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q ที่เรโซแนนซ์

R = 15 ΩL = 200 mHC = 0.47 µF

Q =

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 1.343 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.375² = 383573 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0.125² = 1.726 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |383573 − 1.726 × 10⁶| = 1.343 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 1.343 × 10⁶ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: q = 60.93 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงไฟฟ้าจากสมดุล

องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 5° = 0.006866 N

ระยะห่าง

r = 2·L·sin θ = 2·0.4·sin 5° = 0.06972 m

ประจุ

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.06972·√(0.006866/8.99 × 10⁹) = 6.093 × 10⁻⁸ C = 60.93 nC

คำตอบ

q = 60.93 nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 1.307 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2.654 Ω

R_eq = R₁ + 2.654 = 5 + 2.654 = 7.654 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7.654 = 1.307 A

คำตอบ

I_R1 = 1.307 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.342 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 4.421 Ω

R₃ + 4.421 = 19.42 Ω

R₂ ∥ 19.42 = 11.79 Ω

R_eq = R₁ + 11.79 = 2 + 11.79 = 13.79 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 12/13.79 = 0.8703 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.8703·2 = 10.26 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.26/30 = 0.342 A

คำตอบ

I_R2 = 0.342 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_R = 34.58 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

การลดลงของกระแส

i(t) = 2·e^−1/1 = 0.7358 A

v_R = R·i = 47·0.7358 = 34.58 V

คำตอบ

v_R = 34.58 V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.4727 A

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 สวิตช์ที่ปิดอยู่ข้าม R₂ หลังจากนั้น R₁ และ R₂ อยู่ในวงจรทั้งคู่

i(0) = 12/10 = 1.2 A

i(∞) = 12/(10 + 22) = 0.375 A

τ = L/R = 150/32 = 4.688 ms

i(t) = 0.375 + (1.2 − 0.375)·e^−t/τ

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(10) = 0.375 + (0.825)·e^−10/4.688 = 0.4727 A

คำตอบ

i = 0.4727 A

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ตามเข็มนาฬิกา

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์

ฟลักซ์ออกจากหน้ากระดาษเพิ่มขึ้น หรือฟลักซ์เข้าหน้ากระดาษลดลง

สนามของกระแสเหนี่ยวนำ

กระแสเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนแปลง

สนามเหนี่ยวนำภายในลูป: เข้าหน้ากระดาษ

ทิศทางของกระแส

กฎมือขวา: กระแสทวนเข็มนาฬิกาให้สนามพุ่งออกจากหน้ากระดาษภายในลูป

ตามเข็มนาฬิกา

คำตอบ

ตามเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 160 V

emf เหนี่ยวนำในตัวเอง

emf ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เลนซ์) ดังนั้นเครื่องหมายตรงข้ามกับ ΔI; ขนาดคือ L·|ΔI|/Δt

ε = L·ΔI/Δt = 0.2·4/0.005 = 160 V

คำตอบ

ε = 160 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 32.48 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = ωL = 2π·100·0.05 = 31.42 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 230/20 = 11.5 A

I_X = V/X_L = 230/31.42 = 7.321 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(11.5² + 7.321²) = 13.63 A

มุมเฟส

กระแสตัวเหนี่ยวนำตามหลัง V ดังนั้นกระแสรวมตามหลังและมุมเป็นบวก

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(7.321/11.5) = 32.48°

คำตอบ

φ = 32.48°

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: Q = 43.49

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = 1/(2π·√(0.2·0.47·10⁻⁶)) = 519.1 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.2/(0.47·10⁻⁶)) = 43.49

คำตอบ

Q = 43.49

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism