ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++2 µC++1 µCP30 cm

ประจุ +2 µC และประจุ +1 µC อยู่ห่างกัน 30 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 15 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q1 = +2 µCq2 = +1 µCr1 = 15 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
10 cm8 cm+q1​ = +2 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +4 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 4 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 2 µC อยู่ห่างจากมันไป 10 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 4 µC อยู่ห่างจากมันไป 8 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 2 µCq2 = 4 µCq3 = 4 µCr13 = 10 cmr23 = 8 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩIR2​AR4​12 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 10 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 36 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 ΩR5 = 10 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​10 Vt = 0R = 22 ΩL22 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หากระแส i ที่ t = 1 ms

Vs = 10 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 8 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 1000 ms

Vs = 12 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 Vt = 1000 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
nBA = 100 cm², N = 10B: 0.05 → 0.45 T

ขดลวด 10 รอบ พื้นที่ 100 cm² และความต้านทาน 25 Ω ต่อเป็นวงจรปิด สนามสม่ำเสมอที่ตั้งฉากกับขดลวดเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอจาก 0.05 T เป็น 0.45 T ใน 10 ms จงหากระแสเหนี่ยวนำเฉลี่ย I

N = 10A = 100 cm²B: 0.05 T → 0.45 TΔt = 10 msR = 25 Ω
I = mA
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
Bn = 300 rpm5 cm × 10 cmN = 500B = 0.05 T

ขดลวด 500 รอบ ขนาด 5 cm × 10 cm หมุนที่ 300 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.05 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหาค่า rms Erms ของ emf

N = 500A = 5 cm × 10 cmB = 0.05 Tn = 300 rpm
Erms = V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
Vf0​ = 50 HzRL = 100 mHC = ?

วงจร RLC อนุกรมที่มี L = 100 mH ต้องเรโซแนนซ์ที่ 50 Hz จงหาความจุ C ที่ต้องการ

f0 = 50 HzL = 100 mH
C = µF
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
120 V200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF+−VC​

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 200 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
VC = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 399556 N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.15² = 799111 N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0.15² = 399556 N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |799111 − 399556| = 399556 N/C

คำตอบ

E = 399556 N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 23.6 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·2·4 × 10⁻¹²/0.1² = 7.192 N
F2 = k·4·4 × 10⁻¹²/0.08² = 22.47 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(7.192² + 22.47²) = 23.6 N

คำตอบ

F = 23.6 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.5714 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAR4​12 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 20·32/(20+32) = 12.31 Ω
Req = R1 + 12.31 = 20 + 12.31 = 32.31 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 30/32.31 = 0.9286 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 0.9286·20 = 11.43 V
IR2 = VA/R2 = 11.43/20 = 0.5714 A

คำตอบ

IR2 = 0.5714 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 17.64 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBR6​2 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 10 + 2 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 6 Ω
R3 + 6 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 7.636 Ω
Req = R1 + 7.636 = 10 + 7.636 = 17.64 Ω

คำตอบ

Req = 17.64 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.2873 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 10/22 = 0.4545 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.4545·(1 − e−1/1) = 0.2873 A

คำตอบ

i = 0.2873 A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 9.461 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 12 + (8 − 12)·e−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

vC(1000) = 12 + (−4)·e−1000/2200 = 9.461 V

คำตอบ

vC = 9.461 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: I = 160 mA

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = (0.45 − 0.05)·0.01 = 0.004 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 10·0.004/0.01 = 4 V

กระแส

I = ε/R = 4/25 = 0.16 A

คำตอบ

I = 160 mA
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: Erms = 2.777 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
A = 0.005 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 500·0.05·0.005·31.42 = 3.927 V

ค่า rms

Erms = 3.927/√2 = 2.777 V

คำตอบ

Erms = 2.777 V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: C = 101.3 µF

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·50 = 314.2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314.2²·0.1) = 101.3 µF

คำตอบ

C = 101.3 µF
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VC = 199.9 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (82.01)²) = 101.6 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 120/101.6 = 1.181 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

VC = I·XC = 1.181·169.3 = 199.9 V

คำตอบ

VC = 199.9 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism