ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++6 µC−−2 µCP40 cm

ประจุ +6 µC และประจุ −2 µC อยู่ห่างกัน 40 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 16 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q1 = +6 µCq2 = −2 µCr1 = 16 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
10 cm3 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +2 µC+q2​ = +4 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 2 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 1 µC อยู่ห่างจากมันไป 10 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 4 µC อยู่ห่างจากมันไป 3 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 1 µCq2 = 4 µCq3 = 2 µCr13 = 10 cmr23 = 3 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩIR2​AR4​4 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 10 VR1 = 2 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 ΩR5 = 4 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 75% ของค่าสุดท้าย หา t

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 150 mH
t = ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​20 VR1​ = 20 ΩR2​ = 20 Ωเปิดที่ t = 0L33 mHi(t)

สวิตช์คร่อม R2 ปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแสตัวเหนี่ยวนำ i ที่ t = 1 ms

Vs = 20 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
nBA = 10 cm², N = 50B = 0.2 T

ขดลวด 50 รอบมีพื้นที่ 10 cm² พลิกขดลวดกลับด้าน (หมุน 180°) ในสนามสม่ำเสมอ 0.2 T ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของขดลวด ใน 500 ms จงหา emf เหนี่ยวนำเฉลี่ย ε

N = 50A = 10 cm²B = 0.2 TΔt = 500 ms
ε = mV
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
L = 40 mH2 → 0 A

กระแสในตัวเหนี่ยวนำ 40 mH เปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอจาก 2 A เป็น 0 A ใน 20 ms จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำในตัวเอง ε

L = 40 mH2 A → 0 AΔt = 20 ms
ε = V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
Vf0​ = 60 HzRL = 10 mHC = ?

วงจร RLC อนุกรมที่มี L = 10 mH ต้องเรโซแนนซ์ที่ 60 Hz จงหาความจุ C ที่ต้องการ

f0 = 60 HzL = 10 mH
C = µF
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
24 V60 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF+−VC​

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 60 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF
VC = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 2.419 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.16² = 2.107 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.24² = 312153 N/C

ทิศทางและผลรวม

สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน

E = |2.107 × 10⁶ + 312153| = 2.419 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 2.419 × 10⁶ N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 79.93 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·1·2 × 10⁻¹²/0.1² = 1.798 N
F2 = k·4·2 × 10⁻¹²/0.03² = 79.91 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(1.798² + 79.91²) = 79.93 N

คำตอบ

F = 79.93 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.8621 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAR4​4 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 6 + 4 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Req = R1 + 4.444 = 2 + 4.444 = 6.444 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 10/6.444 = 1.552 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1.552·2 = 6.897 V
IR2 = VA/R2 = 6.897/8 = 0.8621 A

คำตอบ

IR2 = 0.8621 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.5949 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 4 + 20 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 4.138 Ω
R3 + 4.138 = 12.14 Ω
R2 ∥ 12.14 = 8.171 Ω
Req = R1 + 8.171 = 12 + 8.171 = 20.17 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 12/20.17 = 0.5949 A

คำตอบ

IR1 = 0.5949 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 4.159 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0.2 A

แก้สมการหาเวลา

0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −3·ln(0.25) = 4.159 ms

คำตอบ

t = 4.159 ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.6488 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 สวิตช์ที่ปิดอยู่ข้าม R₂ หลังจากนั้น R₁ และ R₂ อยู่ในวงจรทั้งคู่

i(0) = 20/20 = 1 A
i(∞) = 20/(20 + 20) = 0.5 A
τ = L/R = 33/40 = 0.825 ms
i(t) = 0.5 + (1 − 0.5)·e−t/τ

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(1) = 0.5 + (0.5)·e−1/0.825 = 0.6488 A

คำตอบ

i = 0.6488 A
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 40 mV

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = 2·0.2·0.001 = 0.0004 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.0004/0.5 = 0.04 V

คำตอบ

ε = 40 mV
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 4 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf เหนี่ยวนำในตัวเอง

emf ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เลนซ์) ดังนั้นเครื่องหมายตรงข้ามกับ ΔI; ขนาดคือ L·|ΔI|/Δt

ε = L·ΔI/Δt = 0.04·2/0.02 = 4 V

คำตอบ

ε = 4 V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: C = 703.6 µF

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0.01) = 703.6 µF

คำตอบ

C = 703.6 µF
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VC = 14.38 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−18.99)²) = 44.28 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 24/44.28 = 0.542 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

VC = I·XC = 0.542·26.53 = 14.38 V

คำตอบ

VC = 14.38 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism