กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุ +6 µC และประจุ −8 µC อยู่ห่างกัน 60 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 36 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P
q1 = +6 µCq2 = −8 µCr1 = 36 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 1 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 20 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 12° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 1 gL = 20 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หากระแส IR2 ผ่าน R2
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1
V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 6 ΩR5 = 2 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 80% ของค่าสุดท้าย หา t
Vs = 5 VR = 47 ΩL = 10 mH
t = ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 6 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 500 ms
Vs = 24 VR = 4.7 kΩC = 47 µFvC(0) = 6 Vt = 500 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
ลูปวงกลมวางในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอที่ชี้ออกจากหน้ากระดาษ ความแรงของสนามกำลังเพิ่มขึ้น ให้คลิกทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำในลูปตามที่เห็นในรูป
B: ออกจากหน้ากระดาษdB/dt > 0
- 1ตามเข็มนาฬิกา
- 2ทวนเข็มนาฬิกา
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
กระแสในตัวเหนี่ยวนำ 5 mH เปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอจาก 2 A เป็น 1 A ใน 2 ms จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำในตัวเอง ε
L = 5 mH2 A → 1 AΔt = 2 ms
ε = V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 100 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 200 Hz หากระแส rms I
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: E = 1.665 × 10⁶ N/C
กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์
สนามของแต่ละประจุ
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.36² = 416204 N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0.24² = 1.249 × 10⁶ N/C
ทิศทางและผลรวม
สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน
E = |416204 + 1.249 × 10⁶| = 1.665 × 10⁶ N/C
คำตอบ
E = 1.665 × 10⁶ N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: q = 40.05 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
แรงไฟฟ้าจากสมดุล
องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g
F = m·g·tan θ = 0.001·9.81·tan 12° = 0.002085 N
ระยะห่าง
r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 12° = 0.08316 m
ประจุ
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.08316·√(0.002085/8.99 × 10⁹) = 4.005 × 10⁻⁸ C = 40.05 nC
คำตอบ
q = 40.05 nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR2 = 0.7442 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 12·32/(12+32) = 8.727 Ω
Req = R1 + 8.727 = 3 + 8.727 = 11.73 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 12/11.73 = 1.023 A
กระแสผ่าน R₂
ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1.023·3 = 8.93 V
IR2 = VA/R2 = 8.93/12 = 0.7442 A
คำตอบ
IR2 = 0.7442 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR1 = 3.37 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 2 + 2 = 4 Ω
R4 ∥ 4 = 2.4 Ω
R3 + 2.4 = 14.4 Ω
R2 ∥ 14.4 = 5.902 Ω
Req = R1 + 5.902 = 3 + 5.902 = 8.902 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 30/8.902 = 3.37 A
คำตอบ
IR1 = 3.37 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: t = 0.3424 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0.2128 ms
i(∞) = Vs/R = 5/47 = 0.1064 A
แก้สมการหาเวลา
0.8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)
t = −0.2128·ln(0.2) = 0.3424 ms
คำตอบ
t = 0.3424 ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: vC = 22.13 V
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย
vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 47 µF = 220.9 ms
vC(t) = 24 + (6 − 24)·e−t/τ
แรงดันที่เวลาที่กำหนด
vC(500) = 24 + (−18)·e−500/220.9 = 22.13 V
คำตอบ
vC = 22.13 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ตามเข็มนาฬิกา
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์
ฟลักซ์ออกจากหน้ากระดาษเพิ่มขึ้น หรือฟลักซ์เข้าหน้ากระดาษลดลง
สนามของกระแสเหนี่ยวนำ
กระแสเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนแปลง
สนามเหนี่ยวนำภายในลูป: เข้าหน้ากระดาษ
ทิศทางของกระแส
กฎมือขวา: กระแสทวนเข็มนาฬิกาให้สนามพุ่งออกจากหน้ากระดาษภายในลูป
ตามเข็มนาฬิกา
คำตอบ
ตามเข็มนาฬิกา
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ε = 2.5 V
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
emf เหนี่ยวนำในตัวเอง
emf ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เลนซ์) ดังนั้นเครื่องหมายตรงข้ามกับ ΔI; ขนาดคือ L·|ΔI|/Δt
ε = L·ΔI/Δt = 0.005·1/0.002 = 2.5 V
คำตอบ
ε = 2.5 V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: φ = −72.87 °
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.15 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−64.91)²) = 67.92 Ω
มุมเฟส
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−64.91/20) = −72.87°
คำตอบ
φ = −72.87°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: I = 0.4109 A
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (54.87)²) = 58.41 Ω
กระแส
กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม
I = V/|Z| = 24/58.41 = 0.4109 A
คำตอบ
I = 0.4109 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism