ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุจุดสามประจุอยู่บนเส้นตรง: +1 µC ทางซ้าย −5 µC ทางขวาห่างออกไป 20 cm และ −4 µC อยู่ระหว่างกลางห่างจากประจุซ้าย 15 cm จงหาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อประจุตรงกลาง Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +1 µCq_R = −5 µCq_M = −4 µCr_L = 15 cmr_R = 5 cm

F = N

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 2 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 10 µC อยู่ห่างจากมันไป 10 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 3 µC อยู่ห่างจากมันไป 4 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q₁ = 10 µCq₂ = 3 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงจรหลังสวิตช์ปิด

V_s = 30 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 22 µF

τ = ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 20 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 150 ms

V_s = 12 VR = 4.7 kΩC = 100 µFv_C(0) = 20 Vt = 150 ms

v_C = V

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

แท่งโลหะยาว 60 cm เลื่อนด้วย 8 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 0.2 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ รางเชื่อมกันด้วยตัวต้านทาน 8 Ω; แท่งและรางมีความต้านทานน้อยมากจนไม่ต้องคิด จงหากำลัง P ที่สูญเสียในตัวต้านทาน

B = 0.2 TL = 60 cmv = 8 m/sR = 8 Ω

P = mW

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ขดลวด 100 รอบ ขนาด 10 cm × 20 cm หมุนที่ 300 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.3 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหา emf สูงสุด E₀

N = 100A = 10 cm × 20 cmB = 0.3 Tn = 300 rpm

E₀ = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 200 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 47 µF

cos φ =

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 12 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 12 V (rms)R = 10 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 73.52 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงจากแต่ละประจุ

ขวาเป็นบวก

F_L = −k·1·4 × 10⁻¹²/0.15² = −1.598 N

F_R = −k·5·4 × 10⁻¹²/0.05² = −71.92 N

แรงลัพธ์

F = −1.598 + (−71.92) = −73.52 N → |F| = 73.52 N

คำตอบ

F = 73.52 N

แรงลัพธ์ชี้ไปทางซ้าย

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 38.21 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F₁ = k·10·2 × 10⁻¹²/0.1² = 17.98 N

F₂ = k·3·2 × 10⁻¹²/0.04² = 33.71 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(17.98² + 33.71²) = 38.21 N

คำตอบ

F = 38.21 N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 5.2 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 6 + 10 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 4·16/(4+16) = 3.2 Ω

R_eq = R₁ + 3.2 = 2 + 3.2 = 5.2 Ω

คำตอบ

R_eq = 5.2 Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 1.151 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 20 + 6 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 13.93 Ω

R₃ + 13.93 = 25.93 Ω

R₂ ∥ 25.93 = 2.689 Ω

R_eq = R₁ + 2.689 = 6 + 2.689 = 8.689 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 10/8.689 = 1.151 A

คำตอบ

I_R1 = 1.151 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: τ = 36.57 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา R_th เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6.8·2.2/(6.8 + 2.2) = 1.662 kΩ

v_C(∞) = 30·2.2/(6.8 + 2.2) = 7.333 V

ค่าคงตัวเวลา

τ = R_th·C = 1.662·22 = 36.57 ms

คำตอบ

τ = 36.57 ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 17.81 V

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms

v_C(t) = 12 + (20 − 12)·e^−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

v_C(150) = 12 + (8)·e^−150/470 = 17.81 V

คำตอบ

v_C = 17.81 V

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: P = 115.2 mW

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf จากการเคลื่อนที่

ε = BLv = 0.2·0.6·8 = 0.96 V

กระแส

I = ε/R = 0.96/8 = 0.12 A

กำลัง

P = εI = 0.96·0.12 = 0.1152 W

คำตอบ

P = 115.2 mW

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: E₀ = 18.85 V

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

A = 0.02 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 100·0.3·0.02·31.42 = 18.85 V

คำตอบ

E₀ = 18.85 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.3189

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 314.2 Ω, X_C = 16.93 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(100² + (297.2)²) = 313.6 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 100/313.6 = 0.3189

วงจรเป็นเชิงเหนี่ยวนำ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบตามหลัง

คำตอบ

cos φ = 0.3189

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 247.5 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·4.7·10⁻⁶) = 1031 rad/s

I = V/R = 12/10 = 1.2 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 1031·0.2 = 206.3 Ω

V_L = I·X_L = 1.2·206.3 = 247.5 V

คำตอบ

V_L = 247.5 V

นี่คือ Q = 20.63 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism