กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุ +4 µC และประจุ +4 µC อยู่ห่างกัน 60 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 36 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P
q1 = +4 µCq2 = +4 µCr1 = 36 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 8 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 1 µC อยู่ห่างจากมันไป 6 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 3 µC อยู่ห่างจากมันไป 4 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃
q1 = 1 µCq2 = 3 µCq3 = 8 µCr13 = 6 cmr23 = 4 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หากระแส i ที่ t = 10 ms
Vs = 24 VR = 15 ΩL = 68 mHt = 10 ms
i = A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแส i2 ผ่าน R2 ที่ t = 20 ms
Vs = 15 VR1 = 10 kΩR2 = 4.7 kΩC = 10 µFt = 20 ms
i2 = mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
แท่งโลหะยาว 30 cm เลื่อนด้วย 2.5 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 0.4 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ จงหา emf เหนี่ยวนำ ε ระหว่างปลายทั้งสองของมัน
B = 0.4 TL = 30 cmv = 2.5 m/s
ε = mV
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
ขดลวด 100 รอบ ขนาด 12 cm × 15 cm หมุนที่ 1500 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.25 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหาค่า rms Erms ของ emf
N = 100A = 12 cm × 15 cmB = 0.25 Tn = 1500 rpm
Erms = V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 500 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 10 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 500 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 47 µF
VC = V
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: E = 346836 N/C
กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์
สนามของแต่ละประจุ
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.36² = 277469 N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.24² = 624306 N/C
ทิศทางและผลรวม
ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน
E = |277469 − 624306| = 346836 N/C
คำตอบ
E = 346836 N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: F = 136.3 N
กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์
แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃
F1 = k·1·8 × 10⁻¹²/0.06² = 19.98 N
F2 = k·3·8 × 10⁻¹²/0.04² = 134.8 N
ผลรวมเวกเตอร์
F = √(19.98² + 134.8²) = 136.3 N
คำตอบ
F = 136.3 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 7.286 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 12 + 3 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 3 + 4.286 = 7.286 Ω
คำตอบ
Req = 7.286 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 19.25 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 30 + 12 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 13.55 Ω
R3 + 13.55 = 28.55 Ω
R2 ∥ 28.55 = 4.255 Ω
Req = R1 + 4.255 = 15 + 4.255 = 19.25 Ω
คำตอบ
Req = 19.25 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: i = 1.424 A
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4.533 ms
i(∞) = Vs/R = 24/15 = 1.6 A
กระแสที่เวลาที่กำหนด
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 1.6·(1 − e−10/4.533) = 1.424 A
คำตอบ
i = 1.424 A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: i2 = 0.6668 mA
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ
ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด
vC(0) = 15·4.7/(10 + 4.7) = 4.796 V
ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด
τ = R2·C = 4.7·10 = 47 ms
การคายประจุ
vC(t) = 4.796·e−20/47 = 3.134 V
i2 = vC/R2 = 3.134/4.7 = 0.6668 mA
คำตอบ
i2 = 0.6668 mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ε = 300 mV
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
emf จากการเคลื่อนที่
ε = BLv = 0.4·0.3·2.5 = 0.3 V
คำตอบ
ε = 300 mV
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: Erms = 49.98 V
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่
ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
A = 0.018 m²
emf สูงสุด
E₀ = NBAω = 100·0.25·0.018·157.1 = 70.69 V
ค่า rms
Erms = 70.69/√2 = 49.98 V
คำตอบ
Erms = 49.98 V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: φ = 82.44 °
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.25 = 785.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (753.6)²) = 760.2 Ω
มุมเฟส
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(753.6/100) = 82.44°
คำตอบ
φ = 82.44°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: VC = 14 V
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (56.06)²) = 58.03 Ω
กระแส
กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม
I = V/|Z| = 120/58.03 = 2.068 A
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ
VC = I·XC = 2.068·6.773 = 14 V
คำตอบ
VC = 14 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism