ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++8 µC++5 µCE = 020 cm

ประจุ +8 µC และ +5 µC อยู่ห่างกัน 20 cm ที่ระยะ x จากประจุ +8 µC บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์

q1 = +8 µCq2 = +5 µCd = 20 cm
x = cm
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
5 cm3 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +6 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 4 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 10 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 6 µC อยู่ห่างจากมันไป 3 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 10 µCq2 = 6 µCq3 = 4 µCr13 = 5 cmr23 = 3 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​3 ΩB

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 9 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​10 ΩBR6​8 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 10 ΩR5 = 15 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​12 Vt = 0R = 20 ΩL150 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หาแรงดัน vL คร่อมตัวเหนี่ยวนำที่ t = 15 ms

Vs = 12 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 15 ms
vL = V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​20 Vt = 0R = 2.2 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 4 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ vC ถึง 16.8 V หา t

Vs = 20 VR = 2.2 kΩC = 220 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
−v = 8 × 10⁶ m/sr = 1.137 cmB = ?

อิเล็กตรอน เคลื่อนที่ด้วย 8 × 10⁶ m/s เข้าสู่สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอเป็นมุมฉากและเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี 1.137 cm จงหาความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sr = 1.137 cm
B = mT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
L1​ = 20 mH20 A/sL2​ = 200 mHk = 0.6ε = ?

ขดลวดสองขดที่มีความเหนี่ยวนำในตัวเอง 20 mH และ 200 mH มีสัมประสิทธิ์การควบคู่ 0.6 กระแสในขดลวดแรกเปลี่ยนด้วยอัตรา 20 A/s จงหา emf ε ที่เหนี่ยวนำในขดลวดที่สอง

L1 = 20 mHL2 = 200 mHk = 0.6di/dt = 20 A/s
ε = V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
10 V60 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 10 V (rms) 60 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
50 V100 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF+−VC​

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 100 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
VC = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: x = 11.17 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

สนามเท่ากัน

8/x² = 5/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(5/8) = 0.7906

ตำแหน่ง

x = 20/(1 + 0.7906) = 11.17 cm

คำตอบ

x = 11.17 cm

จุดที่สนามเป็นศูนย์อยู่ใกล้ประจุที่เล็กกว่าเสมอ

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 279.6 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·10·4 × 10⁻¹²/0.05² = 143.8 N
F2 = k·6·4 × 10⁻¹²/0.03² = 239.7 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(143.8² + 239.7²) = 279.6 N

คำตอบ

F = 279.6 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.5081 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​20 ΩAR4​3 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 5 + 3 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 20·8/(20+8) = 5.714 Ω
Req = R1 + 5.714 = 12 + 5.714 = 17.71 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 9/17.71 = 0.5081 A

คำตอบ

IR1 = 0.5081 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.8464 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 30 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​10 ΩBR6​8 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 15 + 8 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 6.97 Ω
R3 + 6.97 = 9.97 Ω
R2 ∥ 9.97 = 5.446 Ω
Req = R1 + 5.446 = 30 + 5.446 = 35.45 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 30/35.45 = 0.8464 A

คำตอบ

IR1 = 0.8464 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vL = 1.624 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms
i(∞) = Vs/R = 12/20 = 0.6 A

แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

ที่ t = 0 แรงดันจากแหล่งจ่ายทั้งหมดตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ จากนั้นลดลงเป็นศูนย์

vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−15/7.5 = 1.624 V

คำตอบ

vL = 1.624 V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 779 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ

แก้สมการหาเวลา

16.8 = 20 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (16.8 − 20)/(4 − 20) = 0.2
t = τ·ln((4 − 20)/(16.8 − 20)) = 484·ln(5) = 779 ms

คำตอบ

t = 779 ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: B = 4.001 mT

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

สนามจากรัศมี

B = mv/(|q|r) = 9.109 × 10⁻³¹·8 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.01137) = 4.001 mT

คำตอบ

B = 4.001 mT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 0.7589 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

ความเหนี่ยวนำร่วม

M = 0.6·√(20·200) = 37.95 mH

emf เหนี่ยวนำ

ε = M·di/dt = 0.03795·20 = 0.7589 V

คำตอบ

ε = 0.7589 V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = −51.32 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−18.74)²) = 24 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−18.74/15) = −51.32°

คำตอบ

φ = −51.32°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VC = 52.13 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·2.2·10⁻⁶) = 723.4 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−692)²) = 693.8 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 50/693.8 = 0.07206 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

VC = I·XC = 0.07206·723.4 = 52.13 V

คำตอบ

VC = 52.13 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism