ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +4 µC และ +10 µC อยู่ห่างกัน 20 cm ที่ระยะ x จากประจุ +4 µC บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์

q₁ = +4 µCq₂ = +10 µCd = 20 cm

x = cm

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 4 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 8 µC อยู่ห่างจากมันไป 4 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 3 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q₁ = 8 µCq₂ = 3 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 9 VR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 50% ของค่าสุดท้าย หา t

V_s = 20 VR = 100 ΩL = 10 mH

t = ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 12 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 10.8 V พอดี 1000 ms หลังเริ่ม เมื่อ R = 10 kΩ จงหาความจุ C ที่ต้องการ

V_s = 12 VV_th = 10.8 VT = 1000 msR = 10 kΩ

C = µF

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

แท่งโลหะยาว 80 cm เลื่อนด้วย 2 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 0.25 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ รางเชื่อมกันด้วยตัวต้านทาน 2 Ω; แท่งและรางมีความต้านทานน้อยมากจนไม่ต้องคิด จงหากำลัง P ที่สูญเสียในตัวต้านทาน

B = 0.25 TL = 80 cmv = 2 m/sR = 2 Ω

P = mW

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 200 รอบ ความยาว 30 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 2.5 cm จงหาพลังงาน W ที่สะสมในสนามแม่เหล็กเมื่อมีกระแส 3 A

N = 200l = 30 cm⌀ = 2.5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมที่มี L = 5 mH ต้องเรโซแนนซ์ที่ 2000 Hz จงหาความจุ C ที่ต้องการ

f₀ = 2000 HzL = 5 mH

C = µF

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 50 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 22 µF

V_C = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: x = 7.749 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

สนามเท่ากัน

4/x² = 10/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(10/4) = 1.581

ตำแหน่ง

x = 20/(1 + 1.581) = 7.749 cm

คำตอบ

x = 7.749 cm

จุดที่สนามเป็นศูนย์อยู่ใกล้ประจุที่เล็กกว่าเสมอ

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 184.9 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F₁ = k·8·4 × 10⁻¹²/0.04² = 179.8 N

F₂ = k·3·4 × 10⁻¹²/0.05² = 43.15 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(179.8² + 43.15²) = 184.9 N

คำตอบ

F = 184.9 N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.506 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 5·7/(5+7) = 2.917 Ω

R_eq = R₁ + 2.917 = 4 + 2.917 = 6.917 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6.917 = 0.8675 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.8675·4 = 2.53 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.53/5 = 0.506 A

คำตอบ

I_R2 = 0.506 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.1203 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8.974 Ω

R₃ + 8.974 = 10.97 Ω

R₂ ∥ 10.97 = 5.732 Ω

R_eq = R₁ + 5.732 = 30 + 5.732 = 35.73 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 9/35.73 = 0.2519 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.2519·30 = 1.444 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.444/12 = 0.1203 A

คำตอบ

I_R2 = 0.1203 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 0.06931 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0.1 ms

i(∞) = V_s/R = 20/100 = 0.2 A

แก้สมการหาเวลา

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −0.1·ln(0.5) = 0.06931 ms

คำตอบ

t = 0.06931 ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: C = 43.43 µF

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

10.8 = 12·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(12/(12 − 10.8))

τ = 1000/2.303 = 434.3 ms

ความจุไฟฟ้า

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

C = τ/R = 434.3/10 = 43.43 µF

คำตอบ

C = 43.43 µF

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: P = 80 mW

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf จากการเคลื่อนที่

ε = BLv = 0.25·0.8·2 = 0.4 V

กระแส

I = ε/R = 0.4/2 = 0.2 A

กำลัง

P = εI = 0.4·0.2 = 0.08 W

คำตอบ

P = 80 mW

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: W = 370.1 µJ

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 82.25 µH

พลังงานที่สะสม

W = ½LI² = ½·8.225 × 10⁻⁵·3² = 0.0003701 J = 370.1 µJ

คำตอบ

W = 370.1 µJ

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: C = 1.267 µF

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0.005) = 1.267 µF

คำตอบ

C = 1.267 µF

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 51.97 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−138.4)²) = 139.2 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 50/139.2 = 0.3592 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 0.3592·144.7 = 51.97 V

คำตอบ

V_C = 51.97 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism