ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +10 µC และประจุ −2 µC อยู่ห่างกัน 10 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 6 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +10 µCq₂ = −2 µCr₁ = 6 cmr₂ = 4 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

อิเล็กตรอนเข้าสู่สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นโดยเคลื่อนที่ขนานกับแผ่นด้วย 3 × 10⁷ m/s แผ่นยาว 10 cm และสนามระหว่างแผ่นคือ 2100 N/C ประจุอิเล็กตรอน 1.602 × 10⁻¹⁹ C มวล 9.109 × 10⁻³¹ kg ไม่คิดแรงโน้มถ่วง มันเบนไปด้านข้างไกลเท่าใด y เมื่อออกจากแผ่น ตอบเป็น mm

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 2100 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 75% ของค่าสุดท้าย หา t

V_s = 12 VR = 100 ΩL = 10 mH

t = ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 10 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 18 V หา t

V_s = 20 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ลูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเคลื่อนที่ไปทางขวาเข้าสู่บริเวณที่มีสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอชี้ออกจากหน้ากระดาษ ให้คลิกทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำในลูปตามที่เห็นในรูป ขณะที่ลูปกำลังเข้าสู่สนาม

B: ออกจากหน้ากระดาษกำลังเข้าสู่สนาม

1ตามเข็มนาฬิกา
2ทวนเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ขดลวด 150 รอบ ขนาด 20 cm × 25 cm หมุนที่ 900 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.4 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหา emf สูงสุด E₀

N = 150A = 20 cm × 25 cmB = 0.4 Tn = 900 rpm

E₀ = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมที่มี C = 0.47 µF ต้องเรโซแนนซ์ที่ 50 Hz จงหาความเหนี่ยวนำ L ที่ต้องการ

f₀ = 50 HzC = 0.47 µF

L = mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมมี R = 15 Ω, L = 2 mH และ C = 0.22 µF จงหาแบนด์วิดท์ B (ความกว้างของแถบระหว่างความถี่กำลังครึ่ง) ใน Hz

R = 15 ΩL = 2 mHC = 0.22 µF

B = Hz

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 3.621 × 10⁷ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0.06² = 2.497 × 10⁷ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.04² = 1.124 × 10⁷ N/C

ทิศทางและผลรวม

สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน

E = |2.497 × 10⁷ + 1.124 × 10⁷| = 3.621 × 10⁷ N/C

คำตอบ

E = 3.621 × 10⁷ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: y = 2.052 mm

เวลาระหว่างแผ่น

t = L/v₀ = 0.1/3 × 10⁷ = 3.333 × 10⁻⁹ s

ความเร่งด้านข้าง

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2100/9.109 × 10⁻³¹ = 3.693 × 10¹⁴ m/s²

ระยะแอ่น

y = ½·a·t² = ½·3.693 × 10¹⁴·(3.333 × 10⁻⁹)² = 0.002052 m = 2.052 mm

คำตอบ

y = 2.052 mm

อิเล็กตรอนถูกผลักไปทางแผ่นบวก ตรงข้ามกับทิศทางของสนาม

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 1.981 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 12 + 6 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2.571 Ω

R_eq = R₁ + 2.571 = 5 + 2.571 = 7.571 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.571 = 1.981 A

คำตอบ

I_R1 = 1.981 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.5201 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 2.1 Ω

R₃ + 2.1 = 5.1 Ω

R₂ ∥ 5.1 = 4.064 Ω

R_eq = R₁ + 4.064 = 10 + 4.064 = 14.06 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 36/14.06 = 2.56 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2.56·10 = 10.4 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.4/20 = 0.5201 A

คำตอบ

I_R2 = 0.5201 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 0.1386 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0.1 ms

i(∞) = V_s/R = 12/100 = 0.12 A

แก้สมการหาเวลา

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −0.1·ln(0.25) = 0.1386 ms

คำตอบ

t = 0.1386 ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 1094 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 20 + (10 − 20)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

18 = 20 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18 − 20)/(10 − 20) = 0.2

t = τ·ln((10 − 20)/(18 − 20)) = 680·ln(5) = 1094 ms

คำตอบ

t = 1094 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ตามเข็มนาฬิกา

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์

ฟลักซ์ออกจากหน้ากระดาษเพิ่มขึ้น หรือฟลักซ์เข้าหน้ากระดาษลดลง

สนามของกระแสเหนี่ยวนำ

กระแสเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนแปลง

สนามเหนี่ยวนำภายในลูป: เข้าหน้ากระดาษ

ทิศทางของกระแส

กฎมือขวา: กระแสทวนเข็มนาฬิกาให้สนามพุ่งออกจากหน้ากระดาษภายในลูป

ตามเข็มนาฬิกา

คำตอบ

ตามเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: E₀ = 282.7 V

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s

A = 0.05 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 150·0.4·0.05·94.25 = 282.7 V

คำตอบ

E₀ = 282.7 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: L = 21558 mH

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·50 = 314.2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314.2²·0.47·10⁻⁶) = 21558 mH

คำตอบ

L = 21558 mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: B = 1194 Hz

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = 1/(2π·√(0.002·0.22·10⁻⁶)) = 7587 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.002/(0.22·10⁻⁶)) = 6.356

แบนด์วิดท์

B = f₀/Q = 7587/6.356 = 1194 Hz

คำตอบ

B = 1194 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism