กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุ +2 µC และ +3 µC อยู่ห่างกัน 100 cm ที่ระยะ x จากประจุ +2 µC บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์
q1 = +2 µCq2 = +3 µCd = 100 cm
x = cm
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 2 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 50 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 12° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 2 gL = 50 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 ΩR4 = 15 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 1 ms ใน mJ
Vs = 6 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms
W = mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 5 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 3.75 V พอดี 1000 ms หลังเริ่ม เมื่อ R = 47 kΩ จงหาความจุ C ที่ต้องการ
Vs = 5 VVth = 3.75 VT = 1000 msR = 47 kΩ
C = µF
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
เส้นลวดมีกระแส ไปทางซ้าย ผ่านสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอที่ชี้ออกจากหน้ากระดาษ ให้คลิกทิศทางของแรงแม่เหล็กที่กระทำต่อเส้นลวด
I: ไปทางซ้ายB: ออกจากหน้ากระดาษ
- 1ขึ้นด้านบนของหน้า
- 2ไปทางขวา
- 3ลงด้านล่างของหน้า
- 4ไปทางซ้าย
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
อนุภาคแอลฟา เริ่มจากหยุดนิ่ง ถูกเร่งผ่านความต่างศักย์ 1000 V แล้วเข้าสู่สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.3 T เป็นมุมฉาก จงหารัศมี r ของเส้นทางในสนาม
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0.3 T
r = cm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 50 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 100 µF
cos φ =
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 60 Hz หากระแส rms I
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: x = 44.95 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
สนามเท่ากัน
2/x² = 3/(100 − x)²
(100 − x)/x = √(3/2) = 1.225
ตำแหน่ง
x = 100/(1 + 1.225) = 44.95 cm
คำตอบ
x = 44.95 cm
จุดที่สนามเป็นศูนย์อยู่ใกล้ประจุที่เล็กกว่าเสมอ
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: q = 141.6 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
แรงไฟฟ้าจากสมดุล
องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g
F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 12° = 0.00417 N
ระยะห่าง
r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 12° = 0.2079 m
ประจุ
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2079·√(0.00417/8.99 × 10⁹) = 1.416 × 10⁻⁷ C = 141.6 nC
คำตอบ
q = 141.6 nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 9.8 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 6 + 2 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω
Req = R1 + 4.8 = 5 + 4.8 = 9.8 Ω
คำตอบ
Req = 9.8 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 10.37 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 9.375 Ω
R3 + 9.375 = 34.38 Ω
R2 ∥ 34.38 = 4.365 Ω
Req = R1 + 4.365 = 6 + 4.365 = 10.37 Ω
คำตอบ
Req = 10.37 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: W = 0.218 mJ
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 6/33 = 0.1818 A
กระแสที่เวลาที่กำหนด
i(t) = 0.1818·(1 − e−1/1) = 0.1149 A
พลังงานที่สะสม
W = ½·L·i² = ½·33·0.1149² = 0.218 mJ
คำตอบ
W = 0.218 mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: C = 15.35 µF
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ
3.75 = 5·(1 − e−1000/τ) → τ = 1000/ln(5/(5 − 3.75))
τ = 1000/1.386 = 721.3 ms
ความจุไฟฟ้า
kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที
C = τ/R = 721.3/47 = 15.35 µF
คำตอบ
C = 15.35 µF
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ขึ้นด้านบนของหน้า
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
กฎมือขวา
ชี้นิ้วตามกระแสหรือความเร็ว โค้งนิ้วไปทาง B นิ้วหัวแม่มือบอกแรงที่กระทำต่อประจุบวก
I: ไปทางซ้าย, B: ออกจากหน้ากระดาษ
ทิศทางของแรง
ขึ้นด้านบนของหน้า
คำตอบ
F: ขึ้นด้านบนของหน้า
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: r = 2.147 cm
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
อัตราเร็วหลังการเร่ง
v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·1000/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 310537 m/s
รัศมีในสนาม
r = mv/(|q|B) = 0.02147 m = 2.147 cm
คำตอบ
r = 2.147 cm
รวมกัน: r = √(2mV/|q|)/B ดังนั้นไอออนที่หนักกว่าที่มีประจุเท่ากันเคลื่อนที่ในวงกลมที่ใหญ่กว่า วิธีนี้ใช้แยกไอโซโทป
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: cos φ = 0.9526
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
XL = 6.283 Ω, XC = 31.83 Ω
อิมพีแดนซ์
|Z| = √(80² + (−25.55)²) = 83.98 Ω
ตัวประกอบกำลัง
cos φ = R/|Z| = 80/83.98 = 0.9526
วงจรเป็นเชิงความจุ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบนำ
คำตอบ
cos φ = 0.9526
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: I = 0.4887 A
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.1 = 37.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−82.87)²) = 102.3 Ω
กระแส
กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม
I = V/|Z| = 50/102.3 = 0.4887 A
คำตอบ
I = 0.4887 A
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism