กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุจุดสามประจุอยู่บนเส้นตรง: +4 µC ทางซ้าย +3 µC ทางขวาห่างออกไป 30 cm และ −3 µC อยู่ระหว่างกลางห่างจากประจุซ้าย 7.5 cm จงหาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อประจุตรงกลาง Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +4 µCqR = +3 µCqM = −3 µCrL = 7.5 cmrR = 22.5 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 8 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 60 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 20° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 60 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หากระแส IR2 ผ่าน R2
V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1
V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 90% ของค่าสุดท้าย หา t
Vs = 10 VR = 22 ΩL = 150 mH
t = ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 8 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 20 ms
Vs = 6 VR = 3.3 kΩC = 10 µFvC(0) = 8 Vt = 20 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
ขดลวด 100 รอบ พื้นที่ 40 cm² และความต้านทาน 2 Ω ต่อเป็นวงจรปิด สนามสม่ำเสมอที่ตั้งฉากกับขดลวดเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอจาก 0.2 T เป็น 0.7 T ใน 40 ms จงหากระแสเหนี่ยวนำเฉลี่ย I
N = 100A = 40 cm²B: 0.2 T → 0.7 TΔt = 40 msR = 2 Ω
I = A
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
โปรตอน เริ่มจากหยุดนิ่ง ถูกเร่งผ่านความต่างศักย์ 10000 V แล้วเข้าสู่สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.5 T เป็นมุมฉาก จงหารัศมี r ของเส้นทางในสนาม
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0.5 T
r = cm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 100 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 100 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 47 µF
VC = V
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: F = 17.58 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
แรงจากแต่ละประจุ
ขวาเป็นบวก
FL = −k·4·3 × 10⁻¹²/0.075² = −19.18 N
FR = +k·3·3 × 10⁻¹²/0.225² = 1.598 N
แรงลัพธ์
F = −19.18 + (1.598) = −17.58 N → |F| = 17.58 N
คำตอบ
F = 17.58 N
แรงลัพธ์ชี้ไปทางซ้าย
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: q = 731.6 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
แรงไฟฟ้าจากสมดุล
องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g
F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 20° = 0.02856 N
ระยะห่าง
r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 20° = 0.4104 m
ประจุ
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.4104·√(0.02856/8.99 × 10⁹) = 7.316 × 10⁻⁷ C = 731.6 nC
คำตอบ
q = 731.6 nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR2 = 0.3103 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 6 + 3 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 6·9/(6+9) = 3.6 Ω
Req = R1 + 3.6 = 8 + 3.6 = 11.6 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 6/11.6 = 0.5172 A
กระแสผ่าน R₂
ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0.5172·8 = 1.862 V
IR2 = VA/R2 = 1.862/6 = 0.3103 A
คำตอบ
IR2 = 0.3103 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR1 = 0.5888 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 30 + 12 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 9.333 Ω
R3 + 9.333 = 17.33 Ω
R2 ∥ 17.33 = 9.286 Ω
Req = R1 + 9.286 = 6 + 9.286 = 15.29 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 9/15.29 = 0.5888 A
คำตอบ
IR1 = 0.5888 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: t = 15.7 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 10/22 = 0.4545 A
แก้สมการหาเวลา
0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −6.818·ln(0.1) = 15.7 ms
คำตอบ
t = 15.7 ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: vC = 7.091 V
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 6 + (8 − 6)·e−t/τ
แรงดันที่เวลาที่กำหนด
vC(20) = 6 + (2)·e−20/33 = 7.091 V
คำตอบ
vC = 7.091 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: I = 2.5 A
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ
ΔΦ = (0.7 − 0.2)·0.004 = 0.002 Wb
emf เฉลี่ย
ε = NΔΦ/Δt = 100·0.002/0.04 = 5 V
กระแส
I = ε/R = 5/2 = 2.5 A
คำตอบ
I = 2.5 A
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: r = 2.89 cm
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
อัตราเร็วหลังการเร่ง
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·10000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 1.384 × 10⁶ m/s
รัศมีในสนาม
r = mv/(|q|B) = 0.0289 m = 2.89 cm
คำตอบ
r = 2.89 cm
รวมกัน: r = √(2mV/|q|)/B ดังนั้นไอออนที่หนักกว่าที่มีประจุเท่ากันเคลื่อนที่ในวงกลมที่ใหญ่กว่า วิธีนี้ใช้แยกไอโซโทป
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: φ = −83.3 °
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−213)²) = 214.4 Ω
มุมเฟส
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−213/25) = −83.3°
คำตอบ
φ = −83.3°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: VC = 17.8 V
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (91.8)²) = 95.14 Ω
กระแส
กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม
I = V/|Z| = 50/95.14 = 0.5255 A
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ
VC = I·XC = 0.5255·33.86 = 17.8 V
คำตอบ
VC = 17.8 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism