ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ −3 µC และ +6 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 10 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −3 µCq₂ = +6 µCr = 10 cm

F = N

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุ +8 µC และ −8 µC อยู่ห่างกัน 8 cm จุด P อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางระหว่างประจุ 8 cm บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก จงหาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = −8 µCd = 8 cmh = 8 cm

E = N/C

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หากระแส i ที่ t = 15 ms

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 15 ms

i = A

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 12 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 9.6 V พอดี 25 ms หลังเริ่ม เมื่อ C = 1 µF จงหาความต้านทาน R ที่ต้องการ

V_s = 12 VV_th = 9.6 VT = 25 msC = 1 µF

R = kΩ

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

แท่งโลหะยาว 80 cm เลื่อนด้วย 5 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 0.2 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ รางเชื่อมกันด้วยตัวต้านทาน 0.5 Ω; แท่งและรางมีความต้านทานน้อยมากจนไม่ต้องคิด จงหาแรง F ที่ต้องใช้เพื่อให้แท่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ (ไม่มีแรงเสียดทาน)

B = 0.2 TL = 80 cmv = 5 m/sR = 0.5 Ω

F = mN

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

กระแสในตัวเหนี่ยวนำ 50 mH เปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอจาก 1 A เป็น 2 A ใน 50 ms จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำในตัวเอง ε

L = 50 mH1 A → 2 AΔt = 50 ms

ε = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 24 V (rms) 1000 Hz หากระแส rms I

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมมี R = 10 Ω, L = 10 mH และ C = 10 µF จงหาแบนด์วิดท์ B (ความกว้างของแถบระหว่างความถี่กำลังครึ่ง) ใน Hz

R = 10 ΩL = 10 mHC = 10 µF

B = Hz

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 2.023 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ประจุหลังแตะกัน

q′ = (−3 + 6)/2 = 1.5 µC

แรงใหม่

F = 8.99 × 10⁹·(1.5 × 10⁻⁶)²/0.1² = 2.023 N

คำตอบ

F = 2.023 N

ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 8.041 × 10⁶ N/C

ระยะทางและสนามของประจุหนึ่ง

r = √(4² + 8²) = 8.944 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0.08944² = 8.99 × 10⁶ N/C

องค์ประกอบ

องค์ประกอบตามเส้นแบ่งครึ่งหักล้างกัน

E = 2·E₁·(a/r) = 2·8.99 × 10⁶·0.4472 = 8.041 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 8.041 × 10⁶ N/C

สนามชี้ขนานกับเส้นจากประจุบวกไปยังประจุลบ

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 11.89 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 15 + 20 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 2·35/(2+35) = 1.892 Ω

R_eq = R₁ + 1.892 = 10 + 1.892 = 11.89 Ω

คำตอบ

R_eq = 11.89 Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 1.003 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 20 + 12 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 3.556 Ω

R₃ + 3.556 = 13.56 Ω

R₂ ∥ 13.56 = 8.079 Ω

R_eq = R₁ + 8.079 = 4 + 8.079 = 12.08 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 30/12.08 = 2.484 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2.484·4 = 20.07 V

I_R2 = V_A/R₂ = 20.07/20 = 1.003 A

คำตอบ

I_R2 = 1.003 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 1.036 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1.333 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1.333·(1 − e^−15/10) = 1.036 A

คำตอบ

i = 1.036 A

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: R = 15.53 kΩ

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

9.6 = 12·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(12/(12 − 9.6))

τ = 25/1.609 = 15.53 ms

ความต้านทาน

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

R = τ/C = 15.53/1 = 15.53 kΩ

คำตอบ

R = 15.53 kΩ

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: F = 256 mN

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf จากการเคลื่อนที่

ε = BLv = 0.2·0.8·5 = 0.8 V

กระแส

I = ε/R = 0.8/0.5 = 1.6 A

แรงต้านการเคลื่อนที่

กฎของเลนซ์: แรงที่กระทำต่อกระแสเหนี่ยวนำต้านการเคลื่อนที่

F = BIL = 0.2·1.6·0.8 = 0.256 N

คำตอบ

F = 256 mN

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 1 V

emf เหนี่ยวนำในตัวเอง

emf ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เลนซ์) ดังนั้นเครื่องหมายตรงข้ามกับ ΔI; ขนาดคือ L·|ΔI|/Δt

ε = L·ΔI/Δt = 0.05·1/0.05 = 1 V

คำตอบ

ε = 1 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 0.01532 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.25 = 1571 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7.234 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (1564)²) = 1567 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 24/1567 = 0.01532 A

คำตอบ

I = 0.01532 A

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: B = 159.2 Hz

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = 1/(2π·√(0.01·10·10⁻⁶)) = 503.3 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0.01/(10·10⁻⁶)) = 3.162

แบนด์วิดท์

B = f₀/Q = 503.3/3.162 = 159.2 Hz

คำตอบ

B = 159.2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism