กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุ +6 µC และประจุ −1 µC อยู่ห่างกัน 60 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 45 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P
q1 = +6 µCq2 = −1 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ประจุ +5 µC และ −5 µC อยู่ห่างกัน 6 cm จุด P อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางระหว่างประจุ 10 cm บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก จงหาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +5 µCq2 = −5 µCd = 6 cmh = 10 cm
E = N/C
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หากระแส IR2 ผ่าน R2
V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩR4 = 2 ΩR5 = 12 ΩR6 = 25 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หาแรงดัน vL คร่อมตัวเหนี่ยวนำที่ t = 1 ms
Vs = 9 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 5 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 3.75 V พอดี 500 ms หลังเริ่ม เมื่อ C = 47 µF จงหาความต้านทาน R ที่ต้องการ
Vs = 5 VVth = 3.75 VT = 500 msC = 47 µF
R = kΩ
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
เส้นลวดมีกระแส ไปทางขวา ผ่านสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอที่ชี้ออกจากหน้ากระดาษ ให้คลิกทิศทางของแรงแม่เหล็กที่กระทำต่อเส้นลวด
I: ไปทางขวาB: ออกจากหน้ากระดาษ
- 1ขึ้นด้านบนของหน้า
- 2ไปทางขวา
- 3ลงด้านล่างของหน้า
- 4ไปทางซ้าย
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
ขดลวด 100 รอบ ขนาด 12 cm × 25 cm หมุนในสนามสม่ำเสมอ 0.05 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม ต้องหมุนด้วยอัตราเร็ว n (รอบต่อนาที) เท่าใดจึงให้ emf rms เท่ากับ 9.996 V
N = 100A = 12 cm × 25 cmB = 0.05 TErms = 9.996 V
n = rpm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 50 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)
V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 47 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 24 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms VL ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ
V = 24 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 4.7 µF
VL = V
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: E = 665926 N/C
กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์
สนามของแต่ละประจุ
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.45² = 266370 N/C
E2 = k·1 × 10⁻⁶/0.15² = 399556 N/C
ทิศทางและผลรวม
สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน
E = |266370 + 399556| = 665926 N/C
คำตอบ
E = 665926 N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: E = 2.37 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
ระยะทางและสนามของประจุหนึ่ง
r = √(3² + 10²) = 10.44 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.1044² = 4.124 × 10⁶ N/C
องค์ประกอบ
องค์ประกอบตามเส้นแบ่งครึ่งหักล้างกัน
E = 2·E1·(a/r) = 2·4.124 × 10⁶·0.2873 = 2.37 × 10⁶ N/C
คำตอบ
E = 2.37 × 10⁶ N/C
สนามชี้ขนานกับเส้นจากประจุบวกไปยังประจุลบ
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR2 = 2.211 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 3 + 4 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 5·7/(5+7) = 2.917 Ω
Req = R1 + 2.917 = 5 + 2.917 = 7.917 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 30/7.917 = 3.789 A
กระแสผ่าน R₂
ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 3.789·5 = 11.05 V
IR2 = VA/R2 = 11.05/5 = 2.211 A
คำตอบ
IR2 = 2.211 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 6.52 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 12 + 25 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 1.897 Ω
R3 + 1.897 = 11.9 Ω
R2 ∥ 11.9 = 3.52 Ω
Req = R1 + 3.52 = 3 + 3.52 = 6.52 Ω
คำตอบ
Req = 6.52 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: vL = 3.311 V
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 9/68 = 0.1324 A
แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ
ที่ t = 0 แรงดันจากแหล่งจ่ายทั้งหมดตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ จากนั้นลดลงเป็นศูนย์
vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−1/1 = 3.311 V
คำตอบ
vL = 3.311 V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: R = 7.674 kΩ
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ
3.75 = 5·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(5/(5 − 3.75))
τ = 500/1.386 = 360.7 ms
ความต้านทาน
kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที
R = τ/C = 360.7/47 = 7.674 kΩ
คำตอบ
R = 7.674 kΩ
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ลงด้านล่างของหน้า
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
กฎมือขวา
ชี้นิ้วตามกระแสหรือความเร็ว โค้งนิ้วไปทาง B นิ้วหัวแม่มือบอกแรงที่กระทำต่อประจุบวก
I: ไปทางขวา, B: ออกจากหน้ากระดาษ
ทิศทางของแรง
ลงด้านล่างของหน้า
คำตอบ
F: ลงด้านล่างของหน้า
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: n = 900 rpm
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
emf สูงสุด
E₀ = √2·Erms = 14.14 V
อัตราเร็วเชิงมุม
ω = E₀/(NBA) = 14.14/(100·0.05·0.03) = 94.24 rad/s
รอบต่อนาที
n = 60·94.24/(2π) = 900 rpm
คำตอบ
n = 900 rpm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: φ = 6.172 °
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (10.81)²) = 100.6 Ω
มุมเฟส
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(10.81/100) = 6.172°
คำตอบ
φ = 6.172°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: VL = 110.7 V
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
เรโซแนนซ์
ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·4.7·10⁻⁶) = 4613 rad/s
I = V/R = 24/10 = 2.4 A
แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ
XL = ω₀L = 4613·0.01 = 46.13 Ω
VL = I·XL = 2.4·46.13 = 110.7 V
คำตอบ
VL = 110.7 V
นี่คือ Q = 4.613 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism