ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++3 µC−−3 µCP10 cm

ประจุ +3 µC และประจุ −3 µC อยู่ห่างกัน 10 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 7.5 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q1 = +3 µCq2 = −3 µCr1 = 7.5 cmr2 = 2.5 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
5 cm6 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +8 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 5 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 8 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 8 µC อยู่ห่างจากมันไป 6 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 8 µCq2 = 8 µCq3 = 5 µCr13 = 5 cmr23 = 6 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​5 ΩB

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​15 ΩBR6​15 Ω

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 36 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 15 ΩR5 = 8 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​15 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หาแรงดัน vL คร่อมตัวเหนี่ยวนำที่ t = 5 ms

Vs = 15 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vL = V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​10 Vเปิดที่ t = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 4.7 kΩi2​C100 µF+−vC​

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแส i2 ผ่าน R2 ที่ t = 750 ms

Vs = 10 VR1 = 6.8 kΩR2 = 4.7 kΩC = 100 µFt = 750 ms
i2 = mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
+v = 4 × 10⁶ m/sr = ?B = 0.4 T

โปรตอน เคลื่อนที่ด้วย 4 × 10⁶ m/s ตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.4 T จงหารัศมี r ของเส้นทางวงกลมของมัน

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 0.4 T
r = cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
N1​ = 800, l = 30 cm50 A/sN2​ = 100Mε = ?

ขดลวดสั้น 100 รอบพันแน่นรอบกึ่งกลางของโซลินอยด์ยาว 800 รอบ ความยาว 30 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 2 cm กระแสในโซลินอยด์เปลี่ยนด้วยอัตรา 50 A/s จงหา emf ε ที่เหนี่ยวนำในขดลวดสั้น

N1 = 800N2 = 100l = 30 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 50 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
100 V100 HzR = 30 ΩC = 100 µFI

ตัวต้านทานและตัวเก็บประจุต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 100 V (rms) 100 Hz หากระแส rms I

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩC = 100 µF
I = A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
VfR = 20 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

วงจร RLC อนุกรมมี R = 20 Ω, L = 20 mH และ C = 2.2 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q ที่เรโซแนนซ์

R = 20 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
Q =

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 4.795 × 10⁷ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.075² = 4.795 × 10⁶ N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.025² = 4.315 × 10⁷ N/C

ทิศทางและผลรวม

สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน

E = |4.795 × 10⁶ + 4.315 × 10⁷| = 4.795 × 10⁷ N/C

คำตอบ

E = 4.795 × 10⁷ N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 175.1 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·8·5 × 10⁻¹²/0.05² = 143.8 N
F2 = k·8·5 × 10⁻¹²/0.06² = 99.89 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(143.8² + 99.89²) = 175.1 N

คำตอบ

F = 175.1 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 10.8 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​5 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 3 + 5 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω
Req = R1 + 4.8 = 6 + 4.8 = 10.8 Ω

คำตอบ

Req = 10.8 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 13.75 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 10 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​15 ΩBR6​15 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 8 + 15 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 9.079 Ω
R3 + 9.079 = 15.08 Ω
R2 ∥ 15.08 = 3.755 Ω
Req = R1 + 3.755 = 10 + 3.755 = 13.75 Ω

คำตอบ

Req = 13.75 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vL = 2.833 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0.3 A

แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

ที่ t = 0 แรงดันจากแหล่งจ่ายทั้งหมดตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ จากนั้นลดลงเป็นศูนย์

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−5/3 = 2.833 V

คำตอบ

vL = 2.833 V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i2 = 0.1763 mA

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

vC(0) = 10·4.7/(6.8 + 4.7) = 4.087 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R2·C = 4.7·100 = 470 ms

การคายประจุ

vC(t) = 4.087·e−750/470 = 0.8287 V
i2 = vC/R2 = 0.8287/4.7 = 0.1763 mA

คำตอบ

i2 = 0.1763 mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: r = 10.44 cm

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

สมดุลแรง

แรงแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงทำให้เส้นทางโค้งเป็นวงกลม

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

รัศมี

r = 1.673 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.4) = 0.1044 m = 10.44 cm

คำตอบ

r = 10.44 cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 5.264 mV

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

ความเหนี่ยวนำร่วม

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·100·0.0003142/0.3 = 105.3 µH

emf เหนี่ยวนำ

ε = M·di/dt = 0.0001053·50 = 5.264 mV

คำตอบ

ε = 5.264 mV
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 7.113 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

IR = V/R = 100/30 = 3.333 A
IX = V/XC = 100/15.92 = 6.283 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(IR² + IX²) = √(3.333² + 6.283²) = 7.113 A

คำตอบ

I = 7.113 A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: Q = 4.767

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

ความถี่เรโซแนนซ์

f0 = 1/(2π·√(0.02·2.2·10⁻⁶)) = 758.7 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.02/(2.2·10⁻⁶)) = 4.767

คำตอบ

Q = 4.767

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism