ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +4 µC และประจุ +6 µC อยู่ห่างกัน 20 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 12 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +4 µCq₂ = +6 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 8 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 6 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 5 µC อยู่ห่างจากมันไป 6 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q₁ = 6 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงจรหลังสวิตช์ปิด

V_s = 15 VR₁ = 1 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 100 µF

τ = ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์คร่อม R₂ เปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์ปิดและลัดวงจร R₂ จงหากระแสตัวเหนี่ยวนำ i ที่ t = 1 ms

V_s = 12 VR₁ = 47 ΩR₂ = 5 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

แท่งโลหะยาว 60 cm เลื่อนด้วย 2.5 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 1 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ จงหา emf เหนี่ยวนำ ε ระหว่างปลายทั้งสองของมัน

B = 1 TL = 60 cmv = 2.5 m/s

ε = V

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ดิวเทอรอน ผ่านตัวเลือกความเร็วโดยไม่เบี่ยงเบน ซึ่งมีสนามที่ตั้งฉากกัน E = 2 × 10⁴ V/m และ B₁ = 0.4 T จากนั้นเข้าสู่บริเวณที่สองซึ่งมีเพียงสนามแม่เหล็ก B₂ = 1 T เป็นมุมฉาก จงหารัศมี r ของเส้นทางของมันที่นั่น

E = 2 × 10⁴ V/mB₁ = 0.4 TB₂ = 1 Tm = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 200 Hz หากระแส rms I

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF

I = A

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 12 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 12 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 0.22 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 5.931 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.12² = 2.497 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.08² = 8.428 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |2.497 × 10⁶ − 8.428 × 10⁶| = 5.931 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 5.931 × 10⁶ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 199.4 N

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0.05² = 172.6 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0.06² = 99.89 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(172.6² + 99.89²) = 199.4 N

คำตอบ

F = 199.4 N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.6081 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

R_eq = R₁ + 8.571 = 2 + 8.571 = 10.57 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 15/10.57 = 1.419 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.419·2 = 12.16 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12.16/20 = 0.6081 A

คำตอบ

I_R2 = 0.6081 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 13.5 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 4 + 8 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 6 Ω

R₃ + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 6 + 7.5 = 13.5 Ω

คำตอบ

R_eq = 13.5 Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: τ = 76.74 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา R_th เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·3.3/(1 + 3.3) = 0.7674 kΩ

v_C(∞) = 15·3.3/(1 + 3.3) = 11.51 V

ค่าคงตัวเวลา

τ = R_th·C = 0.7674·100 = 76.74 ms

คำตอบ

τ = 76.74 ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.2494 A

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 ตัวต้านทานทั้งสองอยู่ในวงจร หลังจากนั้นสวิตช์ที่ปิดข้าม R₂

i(0) = 12/(47 + 5) = 0.2308 A

i(∞) = 12/47 = 0.2553 A

τ = L/R = 33/47 = 0.7021 ms

i(t) = 0.2553 + (0.2308 − 0.2553)·e^−t/τ

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(1) = 0.2553 + (−0.02455)·e^−1/0.7021 = 0.2494 A

คำตอบ

i = 0.2494 A

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 1.5 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf จากการเคลื่อนที่

ε = BLv = 1·0.6·2.5 = 1.5 V

คำตอบ

ε = 1.5 V

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: r = 0.1044 cm

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

อัตราเร็วที่ถูกเลือก

ไม่เบี่ยงเบน: แรงไฟฟ้า qE สมดุลกับแรงแม่เหล็ก qvB

v = E/B₁ = 2 × 10⁴/0.4 = 50000 m/s

รัศมีในสนามที่สอง

r = mv/(|q|B₂) = 0.001044 m = 0.1044 cm

คำตอบ

r = 0.1044 cm

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 0.8802 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−110.4)²) = 136.3 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 120/136.3 = 0.8802 A

คำตอบ

I = 0.8802 A

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 228.8 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·0.22·10⁻⁶) = 4767 rad/s

I = V/R = 12/50 = 0.24 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 4767·0.2 = 953.5 Ω

V_L = I·X_L = 0.24·953.5 = 228.8 V

คำตอบ

V_L = 228.8 V

นี่คือ Q = 19.07 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism