ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++10 µC−−2 µCP40 cm

ประจุ +10 µC และประจุ −2 µC อยู่ห่างกัน 40 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 30 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q1 = +10 µCq2 = −2 µCr1 = 30 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
6 cm8 cm+q1​ = +6 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +2 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 3 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 6 µC อยู่ห่างจากมันไป 6 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 2 µC อยู่ห่างจากมันไป 8 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 6 µCq2 = 2 µCq3 = 3 µCr13 = 6 cmr23 = 8 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​8 ΩB

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBR6​2 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 36 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 ΩR5 = 10 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
R = 100 Ωt = 0L10 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 1 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R หากระแส i ที่ t = 1 ms

i(0) = 1 AR = 100 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​15 Vt = 0R = 100 kΩC?+−vC​

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 15 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 11.25 V พอดี 250 ms หลังเริ่ม เมื่อ R = 100 kΩ จงหาความจุ C ที่ต้องการ

Vs = 15 VVth = 11.25 VT = 250 msR = 100 kΩ
C = µF
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
nBA = 20 cm², N = 100B: 0.1 → 0.7 T

ขดลวด 100 รอบมีพื้นที่ 20 cm² สนามสม่ำเสมอที่ตั้งฉากกับขดลวดเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอจาก 0.1 T เป็น 0.7 T ใน 20 ms จงหา emf เหนี่ยวนำเฉลี่ย ε

N = 100A = 20 cm²B: 0.1 T → 0.7 TΔt = 20 ms
ε = V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
l = 50 cmN = 1500, ⌀ 3 cm

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 1500 รอบ ความยาว 50 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 3 cm จงหาความเหนี่ยวนำในตัวเอง L

N = 1500l = 50 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
100 V200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 100 µF

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 200 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 100 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
120 V60 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 30 ΩC = 100 µF

ตัวต้านทาน R1 ต่ออนุกรมกับ R2 ที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C คร่อมแหล่งจ่าย 120 V (rms) 60 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 120 V (rms)f = 60 HzR1 = 40 ΩR2 = 30 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 2.797 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.3² = 998889 N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.1² = 1.798 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน

E = |998889 + 1.798 × 10⁶| = 2.797 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 2.797 × 10⁶ N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 45.73 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·6·3 × 10⁻¹²/0.06² = 44.95 N
F2 = k·2·3 × 10⁻¹²/0.08² = 8.428 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(44.95² + 8.428²) = 45.73 N

คำตอบ

F = 45.73 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 2.929 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 3 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​15 ΩAR4​8 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 6 + 8 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7.241 Ω
Req = R1 + 7.241 = 3 + 7.241 = 10.24 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 30/10.24 = 2.929 A

คำตอบ

IR1 = 2.929 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 3.263 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​5 ΩAR4​2 ΩBR6​2 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 10 + 2 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 1.714 Ω
R3 + 1.714 = 7.714 Ω
R2 ∥ 7.714 = 3.034 Ω
Req = R1 + 3.034 = 8 + 3.034 = 11.03 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 36/11.03 = 3.263 A

คำตอบ

IR1 = 3.263 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 4.54 × 10⁻⁵ A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0.1 ms

การลดลงของกระแส

i(t) = 1·e−1/0.1 = 4.54 × 10⁻⁵ A

คำตอบ

i = 4.54 × 10⁻⁵ A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: C = 1.803 µF

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

11.25 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 11.25))
τ = 250/1.386 = 180.3 ms

ความจุไฟฟ้า

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

C = τ/R = 180.3/100 = 1.803 µF

คำตอบ

C = 1.803 µF
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 6 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = (0.7 − 0.1)·0.002 = 0.0012 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 100·0.0012/0.02 = 6 V

คำตอบ

ε = 6 V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: L = 3.997 mH

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

หน้าตัด

A = π·(0.015)² = 0.0007069 m²

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0.0007069/0.5 = 0.003997 H = 3.997 mH

คำตอบ

L = 3.997 mH
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 82.74 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (117.7)²) = 118.7 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(117.7/15) = 82.74°

คำตอบ

φ = 82.74°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 55.21 Ω

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

ส่วนที่ต่อขนาน

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคเชิงซ้อนเพื่อแยก Zp เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 13.16 − j14.89 Ω

อิมพีแดนซ์รวม

Z = 40 + 13.16 − j14.89 = 53.16 − j14.89 Ω
|Z| = √(53.16² + 14.89²) = 55.21 Ω

คำตอบ

|Z| = 55.21 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism