ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +6 µC และประจุ −3 µC อยู่ห่างกัน 40 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 16 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +6 µCq₂ = −3 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 8 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 60 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 5° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 60 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หากระแส i ที่ t = 5 ms

V_s = 10 VR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 5 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 3.16 V พอดี 500 ms หลังเริ่ม เมื่อ R = 2.2 kΩ จงหาความจุ C ที่ต้องการ

V_s = 5 VV_th = 3.16 VT = 500 msR = 2.2 kΩ

C = µF

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ลูปวงกลมวางในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอที่ชี้ออกจากหน้ากระดาษ ความแรงของสนามกำลังลดลง ให้คลิกทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำในลูปตามที่เห็นในรูป

B: ออกจากหน้ากระดาษdB/dt < 0

1ตามเข็มนาฬิกา
2ทวนเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

กระแสในตัวเหนี่ยวนำ 5 mH เปลี่ยนอย่างสม่ำเสมอจาก 3 A เป็น 1 A ใน 50 ms จงหาขนาดของ emf เหนี่ยวนำในตัวเอง ε

L = 5 mH3 A → 1 AΔt = 50 ms

ε = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 50 Hz หากระแส rms I

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 100 µF

I = A

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 1 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 2.575 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.16² = 2.107 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0.24² = 468229 N/C

ทิศทางและผลรวม

สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน

E = |2.107 × 10⁶ + 468229| = 2.575 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 2.575 × 10⁶ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: q = 91.4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงไฟฟ้าจากสมดุล

องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 5° = 0.006866 N

ระยะห่าง

r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 5° = 0.1046 m

ประจุ

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1046·√(0.006866/8.99 × 10⁹) = 9.14 × 10⁻⁸ C = 91.4 nC

คำตอบ

q = 91.4 nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.8889 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 4 + 8 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 6 + 7.5 = 13.5 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 12/13.5 = 0.8889 A

คำตอบ

I_R1 = 0.8889 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 29.07 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 6.923 Ω

R₃ + 6.923 = 21.92 Ω

R₂ ∥ 21.92 = 4.071 Ω

R_eq = R₁ + 4.071 = 25 + 4.071 = 29.07 Ω

คำตอบ

R_eq = 29.07 Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.4108 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms

i(∞) = V_s/R = 10/22 = 0.4545 A

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.4545·(1 − e^−5/2.136) = 0.4108 A

คำตอบ

i = 0.4108 A

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: C = 227.3 µF

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

3.16 = 5·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(5/(5 − 3.16))

τ = 500/0.9997 = 500.2 ms

ความจุไฟฟ้า

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

C = τ/R = 500.2/2.2 = 227.3 µF

คำตอบ

C = 227.3 µF

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ทวนเข็มนาฬิกา

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์

ฟลักซ์เข้าหน้ากระดาษเพิ่มขึ้น หรือฟลักซ์ออกจากหน้ากระดาษลดลง

สนามของกระแสเหนี่ยวนำ

กระแสเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนแปลง

สนามเหนี่ยวนำภายในลูป: ออกจากหน้ากระดาษ

ทิศทางของกระแส

กฎมือขวา: กระแสทวนเข็มนาฬิกาให้สนามพุ่งออกจากหน้ากระดาษภายในลูป

ทวนเข็มนาฬิกา

คำตอบ

ทวนเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 0.2 V

emf เหนี่ยวนำในตัวเอง

emf ต้านการเปลี่ยนแปลงของกระแส (เลนซ์) ดังนั้นเครื่องหมายตรงข้ามกับ ΔI; ขนาดคือ L·|ΔI|/Δt

ε = L·ΔI/Δt = 0.005·2/0.05 = 0.2 V

คำตอบ

ε = 0.2 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 1.295 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.25 = 78.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (46.71)²) = 92.64 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 120/92.64 = 1.295 A

คำตอบ

I = 1.295 A

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 9.428 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·10·10⁻⁶) = 707.1 rad/s

I = V/R = 1/15 = 0.06667 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 707.1·0.2 = 141.4 Ω

V_L = I·X_L = 0.06667·141.4 = 9.428 V

คำตอบ

V_L = 9.428 V

นี่คือ Q = 9.428 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism