ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +3 µC และประจุ +1 µC อยู่ห่างกัน 40 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 16 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +3 µCq₂ = +1 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 6 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 3 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 3 µC อยู่ห่างจากมันไป 4 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 90% ของค่าสุดท้าย หา t

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 10 mH

t = ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 8 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 13.6 V หา t

V_s = 15 VR = 3.3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ขดลวด 200 รอบมีพื้นที่ 200 cm² ขดลวดอยู่ในสนามสม่ำเสมอ 0.1 T ตั้งฉากกับระนาบของขดลวด และปิดสนามภายใน 100 ms จงหา emf เหนี่ยวนำเฉลี่ย ε

N = 200A = 200 cm²B = 0.1 TΔt = 100 ms

ε = V

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ขดลวด 20 รอบ ขนาด 20 cm × 15 cm หมุนที่ 1500 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.4 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหาค่า rms E_rms ของ emf

N = 20A = 20 cm × 15 cmB = 0.4 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 200 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

P = W

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 24 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 24 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 897439 N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.16² = 1.054 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.24² = 156076 N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |1.054 × 10⁶ − 156076| = 897439 N/C

คำตอบ

E = 897439 N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 120.1 N

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F₁ = k·3·6 × 10⁻¹²/0.05² = 64.73 N

F₂ = k·3·6 × 10⁻¹²/0.04² = 101.1 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(64.73² + 101.1²) = 120.1 N

คำตอบ

F = 120.1 N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 2.057 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω

R_eq = R₁ + 1.667 = 10 + 1.667 = 11.67 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 24/11.67 = 2.057 A

คำตอบ

I_R1 = 2.057 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.586 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 10 + 30 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 8 Ω

R₃ + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 5.238 Ω

R_eq = R₁ + 5.238 = 5 + 5.238 = 10.24 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 6/10.24 = 0.586 A

คำตอบ

I_R1 = 0.586 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 1.535 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1.6 A

แก้สมการหาเวลา

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −0.6667·ln(0.1) = 1.535 ms

คำตอบ

t = 1.535 ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 116.8 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 22 µF = 72.6 ms

v_C(t) = 15 + (8 − 15)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

13.6 = 15 + (−7)·e^−t/τ → e^−t/τ = (13.6 − 15)/(8 − 15) = 0.2

t = τ·ln((8 − 15)/(13.6 − 15)) = 72.6·ln(5) = 116.8 ms

คำตอบ

t = 116.8 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 4 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = 0.1·0.02 = 0.002 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 200·0.002/0.1 = 4 V

คำตอบ

ε = 4 V

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: E_rms = 26.66 V

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

A = 0.03 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 20·0.4·0.03·157.1 = 37.7 V

ค่า rms

E_rms = 37.7/√2 = 26.66 V

คำตอบ

E_rms = 26.66 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 0.6748 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 62.83 Ω, X_C = 169.3 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(100² + (−106.5)²) = 146.1 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 12/146.1 = 0.08215 A

P = I²·R = 0.08215²·100 = 0.6748 W

คำตอบ

P = 0.6748 W

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 482.4 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 24/15 = 1.6 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 15076·0.02 = 301.5 Ω

V_L = I·X_L = 1.6·301.5 = 482.4 V

คำตอบ

V_L = 482.4 V

นี่คือ Q = 20.1 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism