ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ −8 µC และ −4 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 30 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = −4 µCr = 30 cm

F = N

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

อิเล็กตรอนเข้าสู่สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นโดยเคลื่อนที่ขนานกับแผ่นด้วย 4.5 × 10⁷ m/s แผ่นยาว 6 cm และสนามระหว่างแผ่นคือ 3900 N/C ประจุอิเล็กตรอน 1.602 × 10⁻¹⁹ C มวล 9.109 × 10⁻³¹ kg ไม่คิดแรงโน้มถ่วง มันเบนไปด้านข้างไกลเท่าใด y เมื่อออกจากแผ่น ตอบเป็น mm

v₀ = 4.5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3900 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 150 ms

V_s = 6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µFt = 150 ms

v_C = V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 24 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 12.8 V หา t

V_s = 10 VR = 2.2 kΩC = 100 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ลูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเคลื่อนที่ไปทางขวาเข้าสู่บริเวณที่มีสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอชี้ออกจากหน้ากระดาษ ให้คลิกทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำในลูปตามที่เห็นในรูป ขณะที่ลูปกำลังเข้าสู่สนาม

B: ออกจากหน้ากระดาษกำลังเข้าสู่สนาม

1ตามเข็มนาฬิกา
2ทวนเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 800 รอบ ความยาว 25 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 2.5 cm จงหาความเหนี่ยวนำในตัวเอง L

N = 800l = 25 cm⌀ = 2.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมที่มี C = 47 µF ต้องเรโซแนนซ์ที่ 500 Hz จงหาความเหนี่ยวนำ L ที่ต้องการ

f₀ = 500 HzC = 47 µF

L = mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 10 V (rms) 1000 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 100 µF

V_C = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 3.596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ประจุหลังแตะกัน

q′ = (−8 + −4)/2 = −6 µC

แรงใหม่

F = 8.99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0.3² = 3.596 N

คำตอบ

F = 3.596 N

ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: y = 0.6097 mm

เวลาระหว่างแผ่น

t = L/v₀ = 0.06/4.5 × 10⁷ = 1.333 × 10⁻⁹ s

ความเร่งด้านข้าง

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3900/9.109 × 10⁻³¹ = 6.859 × 10¹⁴ m/s²

ระยะแอ่น

y = ½·a·t² = ½·6.859 × 10¹⁴·(1.333 × 10⁻⁹)² = 0.0006097 m = 0.6097 mm

คำตอบ

y = 0.6097 mm

อิเล็กตรอนถูกผลักไปทางแผ่นบวก ตรงข้ามกับทิศทางของสนาม

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 1.6 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 12·24/(12+24) = 8 Ω

R_eq = R₁ + 8 = 2 + 8 = 10 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 24/10 = 2.4 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2.4·2 = 19.2 V

I_R2 = V_A/R₂ = 19.2/12 = 1.6 A

คำตอบ

I_R2 = 1.6 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 1.169 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 3.619 Ω

R₃ + 3.619 = 28.62 Ω

R₂ ∥ 28.62 = 7.411 Ω

R_eq = R₁ + 7.411 = 4 + 7.411 = 11.41 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 18/11.41 = 1.577 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.577·4 = 11.69 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.69/10 = 1.169 A

คำตอบ

I_R2 = 1.169 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 3.097 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา R_th เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·10/(4.7 + 10) = 3.197 kΩ

v_C(∞) = 6·10/(4.7 + 10) = 4.082 V

ค่าคงตัวเวลา

τ = R_th·C = 3.197·33 = 105.5 ms

เส้นโค้งการประจุ

v_C(t) = 4.082·(1 − e^−150/105.5) = 3.097 V

คำตอบ

v_C = 3.097 V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 354.1 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms

v_C(t) = 10 + (24 − 10)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

12.8 = 10 + (14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12.8 − 10)/(24 − 10) = 0.2

t = τ·ln((24 − 10)/(12.8 − 10)) = 220·ln(5) = 354.1 ms

คำตอบ

t = 354.1 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ตามเข็มนาฬิกา

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์

ฟลักซ์ออกจากหน้ากระดาษเพิ่มขึ้น หรือฟลักซ์เข้าหน้ากระดาษลดลง

สนามของกระแสเหนี่ยวนำ

กระแสเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนแปลง

สนามเหนี่ยวนำภายในลูป: เข้าหน้ากระดาษ

ทิศทางของกระแส

กฎมือขวา: กระแสทวนเข็มนาฬิกาให้สนามพุ่งออกจากหน้ากระดาษภายในลูป

ตามเข็มนาฬิกา

คำตอบ

ตามเข็มนาฬิกา

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: L = 1.579 mH

หน้าตัด

A = π·(0.0125)² = 0.0004909 m²

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0.0004909/0.25 = 0.001579 H = 1.579 mH

คำตอบ

L = 1.579 mH

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: L = 2.156 mH

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·47·10⁻⁶) = 2.156 mH

คำตอบ

L = 2.156 mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 0.119 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1.592 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (124.1)²) = 133.8 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 10/133.8 = 0.07476 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 0.07476·1.592 = 0.119 V

คำตอบ

V_C = 0.119 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism