ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 260 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 1900 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 3.5 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 3.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 5 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 30° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 5 kgθ = 30°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 35° ด้วยอัตราเร็ว 9 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 9 m/sθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 40 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 32 m/s ที่มุม 35° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ที่ลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 32 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 18 m

θ = 25°μ = 0.2d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4 m (μ = 0.3) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 2 kgh = 4 mL = 4 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 600 kg เคลื่อนที่ด้วย 17 m/s ชนรถมวล 1200 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 600 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1800 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 21 m/s ชนกับรถมวล 1400 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 15 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาทิศทาง θ ของซากรถทันทีหลังการชน วัดจากทิศตะวันออกไปทางเหนือ

m₁ = 1800 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 15 m/s (N)

θ = °

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 75 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 280 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 280 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 50 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 1 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 190 kPa และความเร็วคือ 2.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 190 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

410 g ของCO₂มีปริมาตร V เท่าใดที่ 550 kPa และ 35 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 410 gM = 44.01 g/molP = 550 kPaT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

N₂ปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 300 kPa, 10 L, 20 °C ไปเป็น 550 kPa และ 210 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 20 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 210 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

ตู้เย็นผันกลับได้รักษาห้องเย็นที่ -18 °C โดยดึงความร้อน 6 kW ออก และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 40 °C จงหาอัตรา Q̇_H ที่มันปล่อยความร้อน

T_L = -18 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 6 kW

Q̇_H = kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนรักษาอุณหภูมิบ้านไว้ที่ 20 °C ขณะที่ภายนอกเป็น 0 °C โดยส่งความร้อน 6 kW ให้บ้าน หาสัมประสิทธิ์สมรรถนะสูงสุดที่เป็นไปได้ COP_max

T_H = 20 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 6 kW

COP_max =

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

ผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วย 15 m/s เข้าหาแหล่งกำเนิด 500 Hz ที่อยู่นิ่ง อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s จงหาความถี่ f′ ที่ผู้สังเกตได้ยิน

f = 500 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

วัตถุอยู่หน้ากระจกเว้า 5 cm ซึ่งมีรัศมีความโค้ง 16 cm จงหาระยะภาพ d_i เป็นบวกสำหรับภาพที่อยู่หน้ากระจก (ภาพจริง) และเป็นลบสำหรับภาพที่อยู่หลังกระจก (ภาพเสมือน)

d_o = 5 cmR = 16 cm

d_i = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 1.373 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·1900) = 1.373 m/s²

คำตอบ

a = 1.373 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 54.73 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(3.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1201 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1201))/(2·4.905) = 3.34 s

ความลึก

d = ½·9.81·3.34² = 54.73 m

คำตอบ

d = 54.73 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 41.52 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 24.52 + 16.99 = 41.52 N

คำตอบ

F = 41.52 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 6.298 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 35° + 0.1·cos 35°) = 6.43 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·6.43) = 6.298 m

คำตอบ

d = 6.298 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 7.391 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 65° = 16.9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 65° = 36.25 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·36.25/9.81 = 7.391 s

คำตอบ

t = 7.391 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v = 41.36 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 32·cos 35° = 26.21 m/s

v_y0 = 32·sin 35° = 18.35 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(18.35² + 2·9.81·35) = 31.99 m/s

อัตราเร็วขณะกระทบ

v = √(26.21² + 31.99²) = 41.36 m/s

คำตอบ

v = 41.36 m/s

ตรวจสอบด้วยพลังงาน: v² = v₀² + 2gh

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 9.232 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 9.232 m/s

คำตอบ

v = 9.232 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 16.57 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 19.62·(4 − 0.3·4) = 54.94 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 54.94 → x = √(2·54.94/4000) = 0.1657 m = 16.57 cm

คำตอบ

x = 16.57 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 57800 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·17/1800 = 5.667 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·600·17² = 86700 J

K_after = ½·1800·5.667² = 28900 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 86700 − 28900 = 57800 J

คำตอบ

ΔK = 57800 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: θ = 29.05 °

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1800·21 = 37800 kg·m/s

p_y = 1400·15 = 21000 kg·m/s

ทิศทาง

tan θ = p_y/p_x = 0.5556 → θ = 29.05°

คำตอบ

θ = 29.05°

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 40.47 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·1.5 = 40.47 kN

คำตอบ

F = 40.47 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 66.22 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3 = 66.22 kN

คำตอบ

F = 66.22 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 279.7 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 280 + (−0.2701) = 279.7 kPa

คำตอบ

p₂ = 279.7 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 167.5 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−12.7) − 9.81 = 167.5 kPa

คำตอบ

p₂ = 167.5 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 43.4 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 410/44.01 = 9.316 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 9.316·8.314·308.1/550 = 43.4 L

คำตอบ

V = 43.4 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 8.99 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 293.1 K, T₂ = 483.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/550)·(483.1/293.1) = 8.99 L

คำตอบ

V₂ = 8.99 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_H = 7.364 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 6·313.1/255.1 = 7.364 kW

คำตอบ

Q̇_H = 7.364 kW

กำลังที่ป้อนเข้า: Ẇ = 1.364 kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: COP_max = 14.66

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 273.1) = 14.66

คำตอบ

COP_max = 14.66

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f′ = 521.9 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

สูตรดอปเพลอร์

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 500·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 521.9 Hz

คำตอบ

f′ = 521.9 Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i = −13.33 cm

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

ความยาวโฟกัส

f = R/2 = 8 cm

สมการกระจก

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/5

d_i = −13.33 cm

แผนภาพรังสี

ภาพเสมือนที่อยู่หลังกระจก

คำตอบ

d_i = −13.33 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers