ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 54 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 7 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 54 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 5 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 5 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 5 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 40° เหนือแนวนอนด้วยแรง 40 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 5 kgF = 40 Nθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 2 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 5 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 24 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 15 m/s ที่มุม 45° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 15 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.งานและพลังงานปานกลาง

รถที่แล่นด้วย 110 km/h บนถนนราบเบรกอย่างแรงและไถลหยุดโดยล้อล็อก สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 จงหาระยะหยุด d

v = 110 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 1 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 3.5 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 0.5 kgh = 1 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 16 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 29 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 12 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 82 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 4 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 16 kgu = 29 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 82 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.25 kg กระทบผนังด้วย 13 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 13 m/s การสัมผัสใช้เวลา 40 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.25 kgv_in = 13 m/sv_out = 13 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 100 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 60 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 11 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 11 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 25 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 1 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 140 kPa และความเร็วคือ 0.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 30 L บรรจุHeปริมาณ 70 g ที่ 5 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 70 gM = 4.003 g/molV = 30 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

CH₄ปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 250 kPa, 2 L, 30 °C ไปเป็น 600 kPa และ 110 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 250 kPaV₁ = 2 LT₁ = 30 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 300 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 10 °C หาประสิทธิภาพเชิงความร้อนสูงสุดที่เป็นไปได้ η_max

T_H = 300 °CT_L = 10 °C

η_max = %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนรักษาอุณหภูมิบ้านไว้ที่ 21 °C ขณะที่ภายนอกเป็น 7 °C โดยส่งความร้อน 12 kW ให้บ้าน หากำลังป้อนเข้าต่ำสุด Ẇ_min

T_H = 21 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 12 kW

Ẇ_min = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุอยู่หน้าเลนส์รวมแสงบาง 40 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 15 cm จงหากำลังขยาย m (เป็นลบสำหรับภาพหัวกลับ)

d_o = 40 cmf = 15 cm

m =

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เซนเซอร์จอดรถที่อยู่นิ่งส่งคลื่นอัลตราซาวด์ 25 kHz ไปยังรถที่เคลื่อนที่ออกด้วย 25 m/s จงหาความถี่ f″ ของเสียงสะท้อนที่เซนเซอร์รับกลับ (อัตราเร็วเสียง 343 m/s)

f = 25 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 16.07 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7) = 16.07 m

คำตอบ

s = 16.07 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 6.274 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9.81) = 1.274 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 5 + 1.274 = 6.274 m

คำตอบ

h_max = 6.274 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.195 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 49.05 − 40·sin 40° = 23.34 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 30.64 − 4.668

a = 25.97/5 = 5.195 m/s²

คำตอบ

a = 5.195 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 7.007 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/7 = 7.007 m/s²

คำตอบ

a = 7.007 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 24.11 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 65° = 10.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 65° = 21.75 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 21.75²/(2·9.81) = 24.11 m

คำตอบ

H = 24.11 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 72.22 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 15·cos 45° = 10.61 m/s

v_y0 = 15·sin 45° = 10.61 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(10.61² + 2·9.81·50) = 33.07 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 33.07/10.61 → α = 72.22°

คำตอบ

α = 72.22°

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 95.17 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

อัตราเร็วในหน่วยฐาน

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

สมดุลพลังงาน

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.5·9.81) = 95.17 m

คำตอบ

d = 95.17 m

การเพิ่มอัตราเร็วเป็นสองเท่าทำให้ระยะหยุดยาวขึ้นสี่เท่า

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 3.053 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 4.905·(1 − 0.15·3.5) = 2.33 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.475) = 3.053 m/s

คำตอบ

v = 3.053 m/s

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = −130 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 16·29 = 464 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

464 = 12·82 + 4·v′₂

v′₂ = (464 − 984)/4 = −130 m/s

คำตอบ

v′₂ = −130 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเศษที่สองกระเด็นถอยหลัง

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 6.5 N·s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.25·(13 + 13) = 6.5 N·s

คำตอบ

J = 6.5 N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 176.6 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

คำตอบ

F = 176.6 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 3.714 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·3 = 90.64 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 2.25/(3.5·3) = 3.714 m

คำตอบ

y_cp = 3.714 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 14.21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความต่อเนื่อง

v₁ = v₂·(60/100)² = 0.36·v₂

เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด

ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·11000/(1000·(1 − 0.1296))) = 5.027 m/s

v₁ = 1.81 m/s

อัตราการไหล

Q = A₂·v₂ = 0.002827·5.027 = 0.01421 m³/s = 14.21 L/s

คำตอบ

Q = 14.21 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 107.7 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/25)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−22.5) − 9.81 = 107.7 kPa

คำตอบ

p₂ = 107.7 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 1348 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 70/4.003 = 17.49 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 17.49·8.314·278.1/0.03 = 1348 kPa

คำตอบ

P = 1348 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 1.053 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 303.1 K, T₂ = 383.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(250/600)·(383.1/303.1) = 1.053 L

คำตอบ

V₂ = 1.053 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: η_max = 50.6 %

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/573.1 = 50.6 %

คำตอบ

η_max = 50.6 %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ_min = 0.5711 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 280.1) = 21.01

กำลังต่ำสุด

เครื่องผันกลับได้ต้องการงานน้อยที่สุด ซึ่งมี COP สูงที่สุด

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 12/21.01 = 0.5711 kW

คำตอบ

Ẇ_min = 0.5711 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: m = −0.6

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/40

d_i = 24 cm

กำลังขยาย

m = −d_i/d_o = −24/40 = −0.6

คำตอบ

m = −0.6

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f″ = 21603 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความถี่ที่รถ

f′ = 25000·(343 − 25)/343 = 23178 Hz

ความถี่ของเสียงสะท้อน

f″ = f′·343/(343 + 25) = 21603 Hz

คำตอบ

f″ = 21603 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers