ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 45 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4.5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 2.8 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 2.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 20 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 25° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 20 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 4.5 kg บนทางลาด 30° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 5.5 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 4.5 kgm₂ = 5.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 70° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 26 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 15 m/s ที่มุม 40° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 60 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 15 m/sθ = 40°h = 60 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 1 kg เลื่อนลงไป 15 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.25 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 1 kgθ = 25°μ = 0.25d = 15 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 5 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 10 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 5 kg เคลื่อนที่ด้วย 11 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.15 kg กระทบผนังด้วย 11 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 11 m/s การสัมผัสใช้เวลา 25 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.15 kgv_in = 11 m/sv_out = 11 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 200 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 150 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 43 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 43 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 200 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 3.5 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา ความเร็วของลำน้ำ v ใช้ g = 9.81 m/s²

p_air = 200 kPa (เกจ)h = 3.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 20 L บรรจุCH₄ปริมาณ 490 g ที่ 15 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 490 gM = 16.04 g/molV = 20 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของN₂ที่ 950 kPa และ 120 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 28.01 g/molP = 950 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 250 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 30 °C หาประสิทธิภาพเชิงความร้อนสูงสุดที่เป็นไปได้ η_max

T_H = 250 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ตู้เย็นรักษาอุณหภูมิช่องเย็นไว้ที่ 5 °C ในครัวที่ 32 °C โดยดึงความร้อนออกจากช่องเย็น 3.5 kW หาสัมประสิทธิ์สมรรถนะสูงสุดที่เป็นไปได้ COP_max

T_H = 32 °CT_L = 5 °CQ̇_L = 3.5 kW

COP_max =

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุอยู่หน้าเลนส์กระจายแสงบาง 15 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 20 cm จงหาระยะภาพ d_i ใช้ข้อตกลงเครื่องหมาย 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน)

d_o = 15 cmf = −20 cm

d_i = cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เลนส์บางสองอันมีแกนร่วมกัน ห่างกัน 10 cm: เลนส์ 1 มี f₁ = 10 cm และเลนส์ 2 มี f₂ = −10 cm วัตถุอยู่หน้าเลนส์ 1 เป็นระยะ 15 cm จงหาตำแหน่ง d_i2 ของภาพสุดท้ายโดยวัดจากเลนส์ 2 (เป็นบวกเมื่ออยู่ไกลกว่าเลนส์ 2 ใช้ข้อตกลงภาพจริงเป็นบวก)

f₁ = 10 cmf₂ = −10 cms = 10 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 17.36 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

คำตอบ

s = 17.36 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 35.65 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(2.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 960.4 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·960.4))/(2·4.905) = 2.696 s

ความลึก

d = ½·9.81·2.696² = 35.65 m

คำตอบ

d = 35.65 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 127.4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 82.92 + 44.45 = 127.4 N

คำตอบ

F = 127.4 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.424 m/s²

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 53.96 N

m₁·g·sin θ = 22.07 N

μ·m₁·g·cos θ = 7.646 N

ความเร่งของระบบ

a = (53.96 − 22.07 − 7.646)/10 = 2.424 m/s²

คำตอบ

a = 2.424 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 44.29 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 70° = 8.893 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 70° = 24.43 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·24.43/9.81 = 4.981 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 8.893·4.981 = 44.29 m

คำตอบ

x = 44.29 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 72.13 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 15·cos 40° = 11.49 m/s

v_y0 = 15·sin 40° = 9.642 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(9.642² + 2·9.81·60) = 35.64 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 35.64/11.49 → α = 72.13°

คำตอบ

α = 72.13°

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 33.34 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 9.81·0.9063 = 8.891 N

F = μN = 0.25·8.891 = 2.223 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 2.223·15 = 33.34 J

คำตอบ

W_f = 33.34 J

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 72.33 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 98.1·(5 − 0.2·5) = 392.4 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 392.4 → x = √(2·392.4/1500) = 0.7233 m = 72.33 cm

คำตอบ

x = 72.33 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 5.923 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (5 − 1.5)/(5 + 1.5)·11 = 5.923 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1.5)·11 = 16.92 m/s

คำตอบ

v′₁ = 5.923 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 3.3 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.15·(11 + 11) = 3.3 N·s

คำตอบ

J = 3.3 N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 176.6 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

คำตอบ

F = 176.6 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 46.35 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·1.5 = 46.35 kN

คำตอบ

F = 46.35 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 198.2 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความต่อเนื่อง

v₁ = v₂·(150/200)² = 0.5625·v₂

เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด

ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·43000/(1000·(1 − 0.3164))) = 11.22 m/s

v₁ = 6.309 m/s

อัตราการไหล

Q = A₂·v₂ = 0.01767·11.22 = 0.1982 m³/s = 198.2 L/s

คำตอบ

Q = 198.2 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 21.65 m/s

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ

v = √(2·(200000/1000 + 9.81·3.5)) = 21.65 m/s

คำตอบ

v = 21.65 m/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 3659 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 490/16.04 = 30.55 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 30.55·8.314·288.1/0.02 = 3659 kPa

คำตอบ

P = 3659 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 8.141 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 950·28.01/(8.314·393.1) = 8.141 kg/m³

คำตอบ

ρ = 8.141 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: η_max = 42.05 %

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 250 + 273.15 = 523.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/523.1 = 42.05 %

คำตอบ

η_max = 42.05 %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: COP_max = 10.3

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 278.1/(305.1 − 278.1) = 10.3

คำตอบ

COP_max = 10.3

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i = −8.571 cm

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/15

d_i = −8.571 cm

แผนภาพรังสี

ภาพเสมือน อยู่ด้านเดียวกับวัตถุ

คำตอบ

d_i = −8.571 cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i2 = −20 cm

ภาพของเลนส์ 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/15 → d_i1 = 30 cm

วัตถุของเลนส์ 2

d_o2 = 10 − 30 = −20 cm

ภาพสุดท้าย

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/(−20) → d_i2 = −20 cm

คำตอบ

d_i2 = −20 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers