ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 4 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 1000 m

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 17 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องไถลไปบนพื้นราบด้วยอัตราเร็วต้น 5.5 m/s และหยุดหลังไป 10 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ μ

v₀ = 5.5 m/sd = 10 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 9 kg บนทางลาด 20° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 8 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 9 kgm₂ = 8 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 12 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 35 m/s ที่มุม 65° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 35 m/sθ = 65°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 5 m

θ = 25°μ = 0.15d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 6 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 1.5 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 1 kgh = 6 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วย 9 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 3 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.35 kg กระทบผนังด้วย 25 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 6 m/s การสัมผัสใช้เวลา 10 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.35 kgv_in = 25 m/sv_out = 6 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 4.5 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.65 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 40 mmh = 4.5 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 170 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา อัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

p_air = 170 kPa (เกจ)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

170 g ของCH₄มีปริมาตร V เท่าใดที่ 450 kPa และ 20 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 170 gM = 16.04 g/molP = 450 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของN₂ที่ 300 kPa และ 20 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 28.01 g/molP = 300 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 3900 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 775 °C และปล่อย 1184 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 775 °CQ_H = 3900 kJQ_L = 1184 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 11 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 20 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ 0 °C COP จริงของมันคือ 60% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้

T_H = 20 °CT_L = 0 °Cη_II = 60%Q̇_H = 11 kW

Ẇ = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

แหล่งกำเนิด 600 Hz เคลื่อนที่ด้วย 10 m/s เข้าหาผู้สังเกตที่อยู่นิ่ง อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s จงหาความถี่ f′ ที่ผู้สังเกตได้ยิน

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เลนส์บางสองอันมีแกนร่วมกัน ห่างกัน 15 cm: เลนส์ 1 มี f₁ = 15 cm และเลนส์ 2 มี f₂ = 12 cm วัตถุอยู่หน้าเลนส์ 1 เป็นระยะ 25 cm จงหาตำแหน่ง d_i2 ของภาพสุดท้ายโดยวัดจากเลนส์ 2 (เป็นบวกเมื่ออยู่ไกลกว่าเลนส์ 2 ใช้ข้อตกลงภาพจริงเป็นบวก)

f₁ = 15 cmf₂ = 12 cms = 15 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 89.44 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·4·1000) = 89.44 m/s

คำตอบ

v = 89.44 m/s

(322 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 4.195 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−15 = 17·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 17·t − 15 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (17 + √(17² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.195 s

คำตอบ

t = 4.195 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: μ = 0.1542

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความหน่วง

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·10) = 1.512 m/s²

สัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.512/9.81 = 0.1542

คำตอบ

μ = 0.1542

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 65.52 N

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 30.2 N

μ·m₁·g·cos θ = 20.74 N

ความเร่งของระบบ

a = (78.48 − 30.2 − 20.74)/17 = 1.62 m/s²

แรงตึงจากมวลที่แขวน

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9.81 − 1.62) = 65.52 N

คำตอบ

T = 65.52 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 12.71 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 60° = 6 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 60° = 10.39 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·10.39/9.81 = 2.119 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 6·2.119 = 12.71 m

คำตอบ

x = 12.71 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 91.28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 35·sin 65° = 31.72 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 31.72²/(2·9.81) = 51.28 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 40 + 51.28 = 91.28 m

คำตอบ

H = 91.28 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.303 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 5.303 m/s

คำตอบ

v = 5.303 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 29.43 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 3) = 58.86 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·58.86/1.5 − 9.81 = 29.43 N

คำตอบ

N = 29.43 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 8.308 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3 − 3.5)/(3 + 3.5)·9 = −0.6923 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3.5)·9 = 8.308 m/s

คำตอบ

v′₂ = 8.308 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 10.85 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.35·(6 + 25) = 10.85 N·s

คำตอบ

J = 10.85 N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 88.29 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

คำตอบ

F = 88.29 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 1.722 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·3 = 55.62 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 1/(1.5·3) = 1.722 m

คำตอบ

y_cp = 1.722 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 7.675 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.001257·9.396 = 0.007675 m³/s = 7.675 L/s

คำตอบ

Q = 7.675 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 10.04 L/s

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ

v = √(2·(170000/1000 + 9.81·4)) = 20.46 m/s

อัตราการไหล

Q = A·v = 0.0004909·20.46 = 0.01004 m³/s = 10.04 L/s

คำตอบ

Q = 10.04 L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 57.4 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 170/16.04 = 10.6 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 10.6·8.314·293.1/450 = 57.4 L

คำตอบ

V = 57.4 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 3.448 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 300·28.01/(8.314·293.1) = 3.448 kg/m³

คำตอบ

ρ = 3.448 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 45.06 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1048·1184/3900 = 318.2 K = 45.06 °C

คำตอบ

T_L = 45.06 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ = 1.251 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

COP คาร์โนต์และ COP จริง

COP_max = 293.1/(293.1 − 273.1) = 14.66

COP = 0.6·14.66 = 8.794

กำลังที่ป้อนเข้า

Ẇ = Q̇_H/COP = 11/8.794 = 1.251 kW

คำตอบ

Ẇ = 1.251 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f′ = 618 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

สูตรดอปเพลอร์

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 0)/(343 − 10)

f′ = 618 Hz

คำตอบ

f′ = 618 Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i2 = 7.826 cm

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

ภาพของเลนส์ 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/25 → d_i1 = 37.5 cm

วัตถุของเลนส์ 2

d_o2 = 15 − 37.5 = −22.5 cm

ภาพสุดท้าย

1/d_i2 = 1/12 − 1/(−22.5) → d_i2 = 7.826 cm

คำตอบ

d_i2 = 7.826 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers