ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 72 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 72 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

จรวดจำลองถูกยิงขึ้นตรง ๆ จากหยุดนิ่ง เครื่องยนต์ให้ความเร่งขึ้นคงที่ 28 m/s² เป็นเวลา 2 s หลังจากนั้นเครื่องยนต์หยุดและจรวดเคลื่อนที่อย่างอิสระ ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² หลังยิงนานเท่าใดจึงตกถึงพื้น จงหา t

a = 28 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 20 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 30° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 20 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 15° ด้วยอัตราเร็ว 7 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 7 m/sθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 55° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 30 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 50° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 29 m/sθ = 50°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 1000 kg ขึ้นเนินลาด 6° ด้วย 90 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 450 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 1000 kgθ = 6°F_r = 450 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 2000 N/m ที่ฐานของเนินลาด 25° ถูกกด 12 cm กับก้อนวัตถุ 0.5 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.1 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 5 kg เคลื่อนที่ด้วย 9 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 4 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.2 kg กระทบผนังด้วย 17 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 6 m/s การสัมผัสใช้เวลา 5 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.2 kgv_in = 17 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

ท่อพิโตต์สแตติกในท่อน้ำอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 6 kPa จงหาความเร็วของน้ำ v ที่ปลายท่อ

p₀ − p = 6 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 8 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 140 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 140 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 50 L บรรจุCO₂ปริมาณ 10 g ที่ 95 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 10 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของArที่ 650 kPa และ 80 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 39.95 g/molP = 650 kPaT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อนจากแหล่งที่ 800 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 10 °C ประสิทธิภาพเชิงความร้อนจริงของมันคือ 48% จงหาประสิทธิภาพตามกฎข้อที่สอง η_II ซึ่งเป็นอัตราส่วนของประสิทธิภาพจริงต่อประสิทธิภาพคาร์โนต์

T_H = 800 °CT_L = 10 °Cη = 48%

η_II = %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 5.5 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 35 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ -10 °C COP จริงของมันคือ 45% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้

T_H = 35 °CT_L = -10 °Cη_II = 45%Q̇_H = 5.5 kW

Ẇ = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้าง ต้องมีฮาร์มอนิกที่ 2ที่ 300 Hz คลื่นเคลื่อนที่บนนั้นด้วย 300 m/s จงหาความยาว L

v = 300 m/sn = 2f₂ = 300 Hz

L = m

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เส้นใยนำแสงมีแกนกลางที่ n₁ = 1.5 และเปลือกหุ้มที่ n₂ = 1.47 จงหามุมที่ใหญ่ที่สุด θ_a กับแกนของเส้นใยที่แสงจากอากาศเข้าสู่ปลายเส้นใยได้และยังถูกนำทางด้วยการสะท้อนกลับหมด

n₁ = 1.5n₂ = 1.47n₀ = 1.00

θ_a = °

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 40 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

คำตอบ

s = 40 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 14.34 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ช่วงที่มีแรงขับ

v₁ = 28·2 = 56 m/s

h₁ = ½·28·2² = 56 m

บินอิสระลงสู่พื้น

แก้ −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² หารากที่เป็นบวก

t₂ = (56 + √(56² + 2·9.81·56))/9.81 = 12.34 s

t = 2 + 12.34 = 14.34 s

คำตอบ

t = 14.34 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 115.1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 98.1 + 16.99 = 115.1 N

คำตอบ

F = 115.1 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 5.525 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 15° + 0.2·cos 15°) = 4.434 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·4.434) = 5.525 m

คำตอบ

d = 5.525 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 5.01 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 55° = 17.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 55° = 24.57 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·24.57/9.81 = 5.01 s

คำตอบ

t = 5.01 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 115.2 m

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 50° = 18.64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 50° = 22.22 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 50 + 22.22·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.22 + √(493.5 + 981))/9.81 = 6.179 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 18.64·6.179 = 115.2 m

คำตอบ

x = 115.2 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 36.89 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 6° = 1025 N

F = 1025 + 450 = 1475 N

กำลัง

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1475·25 = 36886 W = 36.89 kW

คำตอบ

P = 36.89 kW

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 5.72 m

พลังงานสปริง

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·2000·0.12² = 14.4 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 14.4/(4.905·(0.4226 + 0.1·0.9063)) = 5.72 m

คำตอบ

d = 5.72 m

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 10 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·9 = 1 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·9 = 10 m/s

คำตอบ

v′₂ = 10 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 4.6 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.2·(6 + 17) = 4.6 N·s

คำตอบ

J = 4.6 N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 117.7 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

คำตอบ

F = 117.7 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 3.308 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.25·3 = 84.17 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 0.5625/(3.25·3) = 3.308 m

คำตอบ

y_cp = 3.308 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 3.464 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง

การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·6000/1000) = 3.464 m/s

คำตอบ

v = 3.464 m/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 36.93 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/40)² = 7.031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 7.031²)/1000 = −24.59 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−24.59) − 78.48 = 36.93 kPa

คำตอบ

p₂ = 36.93 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 13.91 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 10/44.01 = 0.2272 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 0.2272·8.314·368.1/0.05 = 13.91 kPa

คำตอบ

P = 13.91 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 8.844 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 650·39.95/(8.314·353.1) = 8.844 kg/m³

คำตอบ

ρ = 8.844 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: η_II = 65.2 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_Carnot = 1 − 283.1/1073 = 73.62 %

ประสิทธิภาพตามกฎข้อที่สอง

η_II = η/η_Carnot = 48/73.62 = 65.2 %

คำตอบ

η_II = 65.2 %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ = 1.785 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

COP คาร์โนต์และ COP จริง

COP_max = 308.1/(308.1 − 263.1) = 6.848

COP = 0.45·6.848 = 3.081

กำลังที่ป้อนเข้า

Ẇ = Q̇_H/COP = 5.5/3.081 = 1.785 kW

คำตอบ

Ẇ = 1.785 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: L = 1 m

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความยาวคลื่น

λ = v/f = 300/300 = 1 m

ความยาว

L = nλ/2 = 2·1/2 = 1 m

คำตอบ

L = 1 m

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: θ_a = 17.37 °

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

มุมวิกฤตที่เปลือกหุ้ม

sin θc = 1.47/1.5 = 0.98 → θc = 78.52°

ค่ารูรับแสงเชิงตัวเลข

NA = √(1.5² − 1.47²) = 0.2985

มุมรับแสง

θ_a = arcsin(0.2985) = 17.37°

คำตอบ

θ_a = 17.37°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers