ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 36 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5.5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 36 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 3 m/s² เป็นเวลา 6 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 9 s และสุดท้ายเบรกด้วย 4 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 3 m/s²t₁ = 6 st₂ = 9 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 15 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงไร้แรงเสียดทานที่ทำมุม 45° กับแนวนอน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 15 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 0.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 1 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 40° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 95 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 40°R = 95 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 30 m/s ที่มุม 55° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 15 m

θ = 20°μ = 0.15d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1.5 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 1 kgh = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1500 kg เคลื่อนที่ด้วย 16 m/s ชนรถมวล 700 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 1500 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.5 kg กระทบผนังด้วย 29 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 6 m/s การสัมผัสใช้เวลา 40 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.5 kgv_in = 29 m/sv_out = 6 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 40 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 340 kPa และความเร็วคือ 0.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 340 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 50 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 7 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 220 kPa และความเร็วคือ 1.75 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 220 kPav₁ = 1.75 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

400 g ของHeมีปริมาตร V เท่าใดที่ 700 kPa และ 45 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 400 gM = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของCH₄ที่ 700 kPa และ 180 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 600 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 25 °C หาประสิทธิภาพเชิงความร้อนสูงสุดที่เป็นไปได้ η_max

T_H = 600 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนคาร์โนต์รับความร้อน 120 kW จากแหล่งที่ 650 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 20 °C งานทั้งหมดของมันขับตู้เย็นคาร์โนต์ที่ดึงความร้อนจากช่องแช่แข็งที่ -25 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 20 °C เช่นกัน จงหาอัตรา Q̇_L ที่ความร้อนถูกดึงออกจากช่องแช่แข็ง

T_H = 650 °CT₀ = 20 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 120 kW

Q̇_L = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

แสงเคลื่อนที่ในเพชร (n = 2.42) เข้าหารอยต่อแบนกับเอทานอล (n = 1.36) จงหามุมวิกฤต θ_c ซึ่งเกินกว่านั้นแสงจะสะท้อนกลับหมด

n₁ = 2.42n₂ = 1.36

θ_c = °

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เกรตติงที่มี 1200 เส้นต่อมิลลิเมตรแสดงค่าสูงสุดอันดับ 1 ของเส้นสเปกตรัมที่ 36.9° จากทิศทางตรง จงหาความยาวคลื่น λ ของเส้นนั้น

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 36.9°m = 1

λ = nm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 9.091 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5.5) = 9.091 m

คำตอบ

s = 9.091 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 256.5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 3·6 = 18 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·3·6² = 54 m

s₂ = 18·9 = 162 m

s₃ = 18²/(2·4) = 40.5 m

ระยะทางรวม

s = 54 + 162 + 40.5 = 256.5 m

คำตอบ

s = 256.5 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 6.937 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

คำตอบ

a = 6.937 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 3.924 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 1.962)/1.5 = 1.962 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·1.962 + 1.962 = 3.924 N

คำตอบ

T = 3.924 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 30.76 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·95/sin 80°) = 30.76 m/s

คำตอบ

v₀ = 30.76 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 60.14 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 30·cos 55° = 17.21 m/s

v_y0 = 30·sin 55° = 24.57 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(24.57² + 2·9.81·15) = 29.97 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 29.97/17.21 → α = 60.14°

คำตอบ

α = 60.14°

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 7.692 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 7.692 m/s

คำตอบ

v = 7.692 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 9.078 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.2·1.5) = 41.2 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.2) = 9.078 m/s

คำตอบ

v = 9.078 m/s

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 61091 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·16/2200 = 10.91 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1500·16² = 192000 J

K_after = ½·2200·10.91² = 130909 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 192000 − 130909 = 61091 J

คำตอบ

ΔK = 61091 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 437.5 N

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.5·(6 + 29) = 17.5 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 17.5/0.04 = 437.5 N

คำตอบ

F_avg = 437.5 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 95.65 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

คำตอบ

F = 95.65 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.533 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.25/(2.5·3) = 2.533 m

คำตอบ

y_cp = 2.533 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 284.7 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/40)² = 10.55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 10.55²)/1000 = −55.34 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 340 + (−55.34) = 284.7 kPa

คำตอบ

p₂ = 284.7 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 145.1 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(75/50)² = 3.938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−6.221) − 68.67 = 145.1 kPa

คำตอบ

p₂ = 145.1 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 377.6 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 400/4.003 = 99.93 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 99.93·8.314·318.1/700 = 377.6 L

คำตอบ

V = 377.6 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 2.98 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 700·16.04/(8.314·453.1) = 2.98 kg/m³

คำตอบ

ρ = 2.98 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: η_max = 65.85 %

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/873.1 = 65.85 %

คำตอบ

η_max = 65.85 %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_L = 451.6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

งานของเครื่องยนต์

η = 1 − 293.1/923.1 = 0.6824

Ẇ = 0.6824·120 = 81.89 kW

ความร้อนที่ตู้เย็นดึงออก

COP_R = 248.1/(293.1 − 248.1) = 5.514

Q̇_L = 5.514·81.89 = 451.6 kW

คำตอบ

Q̇_L = 451.6 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: θ_c = 34.19 °

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

การหักเหที่ 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/2.42 = 0.562

มุมวิกฤต

θc = arcsin(0.562) = 34.19°

คำตอบ

θ_c = 34.19°

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: λ = 500.4 nm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ความยาวคลื่น

λ = d·sin θ/m = 8.333 × 10⁻⁷·sin 36.9°/1 = 500.4 nm

คำตอบ

λ = 500.4 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers