ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 80 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 0.9 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 80 km/ht_r = 0.9 sa = −6 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 1.6 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 1.6 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 14 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 14 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 4.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 26 m/s ที่มุม 55° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 52 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 26 m/sθ = 55°x = 52 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 34 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงไป 18 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.3 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 10 kgθ = 45°μ = 0.3d = 18 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.8 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 1.5 m จงหาอัตราเร็ว v ของรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 0.5 kgh = 4.8 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 900 kg เคลื่อนที่ด้วย 24 m/s ชนรถมวล 1900 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 900 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg กระทบผนังด้วย 22 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 19 m/s การสัมผัสใช้เวลา 5 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.4 kgv_in = 22 m/sv_out = 19 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 3.5 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.65 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 50 mmh = 3.5 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 25 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 7 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 390 kPa และความเร็วคือ 1.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 50 L บรรจุO₂ปริมาณ 250 g ที่ 40 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 250 gM = 32 g/molV = 50 LT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

Heปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 100 kPa, 5 L, 10 °C ไปเป็น 700 kPa และ 230 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 100 kPaV₁ = 5 LT₁ = 10 °CP₂ = 700 kPaT₂ = 230 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 1400 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 625 °C และปล่อย 496 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 625 °CQ_H = 1400 kJQ_L = 496 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อน 1900 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 900 °C ให้งาน 722 kJ และปล่อยส่วนที่เหลือสู่แหล่งความร้อนที่ 15 °C ต่อวัฏจักร จงหาเอนโทรปีทั้งหมดที่เกิดขึ้น S_gen ต่อวัฏจักร

T_H = 900 °CT_L = 15 °CQ_H = 1900 kJW = 722 kJ

S_gen = kJ/K

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุอยู่หน้าเลนส์รวมแสงบาง 25 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 8 cm จงหากำลังขยาย m (เป็นลบสำหรับภาพหัวกลับ)

d_o = 25 cmf = 8 cm

m =

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

วัตถุอยู่หน้ากระจกเว้า 12 cm ซึ่งมีรัศมีความโค้ง 40 cm จงหาระยะภาพ d_i เป็นบวกสำหรับภาพที่อยู่หน้ากระจก (ภาพจริง) และเป็นลบสำหรับภาพที่อยู่หลังกระจก (ภาพเสมือน)

d_o = 12 cmR = 40 cm

d_i = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 61.15 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.9 = 20 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·6) = 41.15 m

รวม

d = 20 + 41.15 = 61.15 m

คำตอบ

d = 61.15 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 12.01 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(1.6 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 548.8 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·548.8))/(2·4.905) = 1.565 s

ความลึก

d = ½·9.81·1.565² = 12.01 m

คำตอบ

d = 12.01 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.631 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 30° − 0.15·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1299) = 3.631 m/s²

คำตอบ

a = 3.631 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 10.43 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 2.943)/5.5 = 7.491 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7.491 + 2.943 = 10.43 N

คำตอบ

T = 10.43 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 14.63 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 26·cos 55° = 14.91 m/s

t = x/v_x = 52/14.91 = 3.487 s

ความสูงขณะนั้น

y = 21.3·3.487 − ½·9.81·3.487² = 14.63 m

คำตอบ

y = 14.63 m

ลูกบอลกำลังตกลงมาแล้วที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 128.1 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 25 + 14.37·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.37 + √(206.5 + 490.5))/9.81 = 4.156 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 30.81·4.156 = 128.1 m

คำตอบ

x = 128.1 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 374.6 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 98.1·0.7071 = 69.37 N

F = μN = 0.3·69.37 = 20.81 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 20.81·18 = 374.6 J

คำตอบ

W_f = 374.6 J

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.943 m/s

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.8 − 3) = 35.32 m²/s²

v = 5.943 m/s

คำตอบ

v = 5.943 m/s

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 175886 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·24/2800 = 7.714 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·900·24² = 259200 J

K_after = ½·2800·7.714² = 83314 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 259200 − 83314 = 175886 J

คำตอบ

ΔK = 175886 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 3280 N

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.4·(19 + 22) = 16.4 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 16.4/0.005 = 3280 N

คำตอบ

F_avg = 3280 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 134.9 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·5 = 134.9 kN

คำตอบ

F = 134.9 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 208.6 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.75·4.5 = 208.6 kN

คำตอบ

F = 208.6 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 10.58 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.001963·8.287 = 0.01058 m³/s = 10.58 L/s

คำตอบ

Q = 10.58 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 231.3 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−90) − 68.67 = 231.3 kPa

คำตอบ

p₂ = 231.3 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 406.8 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 250/32 = 7.813 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 7.813·8.314·313.1/0.05 = 406.8 kPa

คำตอบ

P = 406.8 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 1.269 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 283.1 K, T₂ = 503.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(100/700)·(503.1/283.1) = 1.269 L

คำตอบ

V₂ = 1.269 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 45.05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 625 + 273.15 = 898.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 898.1·496/1400 = 318.2 K = 45.05 °C

คำตอบ

T_L = 45.05 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: S_gen = 2.469 kJ/K

การกำเนิดเอนโทรปี: ตลอดวัฏจักรสมบูรณ์ สารทำงานไม่มีการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีสุทธิ แหล่งความร้อนร้อนสูญเสีย Q_H/T_H และแหล่งความร้อนเย็นได้รับ Q_L/T_L ผลรวมของทั้งสองคือเอนโทรปีที่เกิดขึ้น ซึ่งเป็นศูนย์สำหรับวัฏจักรผันกลับได้และเป็นบวกสำหรับวัฏจักรจริงทุกวัฏจักร

ความร้อนที่ปล่อยทิ้ง

Q_L = Q_H − W = 1900 − 722 = 1178 kJ

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 900 + 273.15 = 1173 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของแหล่งความร้อน

ΔS_H = −1900/1173 = −1.62 kJ/K

ΔS_L = 1178/288.1 = 4.088 kJ/K

S_gen = 4.088 − 1.62 = 2.469 kJ/K

คำตอบ

S_gen = 2.469 kJ/K

S_gen > 0 ดังนั้นเครื่องยนต์นี้เป็นไปได้แต่ผันกลับไม่ได้

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: m = −0.4706

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/25

d_i = 11.76 cm

กำลังขยาย

m = −d_i/d_o = −11.76/25 = −0.4706

คำตอบ

m = −0.4706

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i = −30 cm

ความยาวโฟกัส

f = R/2 = 20 cm

สมการกระจก

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/12

d_i = −30 cm

แผนภาพรังสี

ภาพเสมือนที่อยู่หลังกระจก

คำตอบ

d_i = −30 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers