ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 80 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 3 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 15 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 15 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 4 kg และ 2 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 15° ด้วยอัตราเร็ว 4 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 4 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 15° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 15°R = 25 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 5 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 26 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg เลื่อนลงไป 8 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.4 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 0.5 kgθ = 30°μ = 0.4d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 10.5 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 3 m จงหาอัตราเร็ว v ของรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 5 kgh = 10.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 5 kg เคลื่อนที่ด้วย 7 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 4 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.55 kg กระทบผนังด้วย 25 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 18 m/s การสัมผัสใช้เวลา 10 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.55 kgv_in = 25 m/sv_out = 18 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 100 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 50 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 9 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 200 mm คอคอด 150 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 260 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.96 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²

d₁ = 200 mmd₂ = 150 mmΔh = 260 mmC_d = 0.96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 5 L บรรจุN₂ปริมาณ 140 g ที่ 50 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 140 gM = 28.01 g/molV = 5 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของCH₄ที่ 500 kPa และ 170 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 16.04 g/molP = 500 kPaT = 170 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 3600 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 400 °C และปล่อย 1675 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 400 °CQ_H = 3600 kJQ_L = 1675 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 18.5 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 35 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ 0 °C COP จริงของมันคือ 30% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้

T_H = 35 °CT_L = 0 °Cη_II = 30%Q̇_H = 18.5 kW

Ẇ = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุสูง 5 cm อยู่หน้าเลนส์รวมแสงบาง 8 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 30 cm จงหาความสูงของภาพ h_i (เป็นลบสำหรับภาพหัวกลับ)

h_o = 5 cmd_o = 8 cmf = 30 cm

h_i = cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 500 nm ผ่านสลิตเดี่ยวกว้าง 0.15 mm จงหาความกว้าง w ของแถบสว่างกลางบนฉากที่ห่าง 3 m (ระหว่างแถบมืดแรกทั้งสองข้าง)

λ = 500 nma = 0.15 mmL = 3 m

w = mm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 82.3 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3) = 82.3 m

คำตอบ

s = 82.3 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.852 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−15 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 15 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (15 + √(15² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.852 s

คำตอบ

t = 3.852 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 26.16 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (4 − 2)·9.81/(4 + 2) = 3.27 m/s²

แรงตึงจากมวลที่เบากว่า

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9.81 + 3.27) = 26.16 N

คำตอบ

T = 26.16 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 1.487 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·5.382) = 1.487 m

คำตอบ

d = 1.487 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 22.15 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·25/sin 30°) = 22.15 m/s

คำตอบ

v₀ = 22.15 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.803 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 5 + 22.52·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.52 + √(507 + 98.1))/9.81 = 4.803 s

คำตอบ

t = 4.803 s

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 13.59 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 4.905·0.866 = 4.248 N

F = μN = 0.4·4.248 = 1.699 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 1.699·8 = 13.59 J

คำตอบ

W_f = 13.59 J

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 9.396 m/s

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.5 − 6) = 88.29 m²/s²

v = 9.396 m/s

คำตอบ

v = 9.396 m/s

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 0.7778 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·7 = 0.7778 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·7 = 7.778 m/s

คำตอบ

v′₁ = 0.7778 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 23.65 N·s

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.55·(18 + 25) = 23.65 N·s

คำตอบ

J = 23.65 N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 34.34 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·1 = 34.34 kN

คำตอบ

F = 34.34 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.533 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·3 = 64.75 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.25/(2.5·3) = 2.533 m

คำตอบ

y_cp = 2.533 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 8.604 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความต่อเนื่อง

v₁ = v₂·(50/100)² = 0.25·v₂

เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด

ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·9000/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.382 m/s

v₁ = 1.095 m/s

อัตราการไหล

Q = A₂·v₂ = 0.001963·4.382 = 0.008604 m³/s = 8.604 L/s

คำตอบ

Q = 8.604 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 164.5 L/s

ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.26 = 32138 Pa

ความเร็วที่คอคอด

สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ

β = 150/200 = 0.75

v₂ = √(2·32138/(1000·(1 − 0.3164))) = 9.697 m/s

อัตราการไหลจริง

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.96·0.01767·9.697 = 0.1645 m³/s = 164.5 L/s

คำตอบ

Q = 164.5 L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 2686 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 140/28.01 = 4.998 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 4.998·8.314·323.1/0.005 = 2686 kPa

คำตอบ

P = 2686 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 2.177 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 170 + 273.15 = 443.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 500·16.04/(8.314·443.1) = 2.177 kg/m³

คำตอบ

ρ = 2.177 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 40.05 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 673.1·1675/3600 = 313.2 K = 40.05 °C

คำตอบ

T_L = 40.05 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ = 7.004 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

COP คาร์โนต์และ COP จริง

COP_max = 308.1/(308.1 − 273.1) = 8.804

COP = 0.3·8.804 = 2.641

กำลังที่ป้อนเข้า

Ẇ = Q̇_H/COP = 18.5/2.641 = 7.004 kW

คำตอบ

Ẇ = 7.004 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: h_i = 6.818 cm

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/8

d_i = −10.91 cm

กำลังขยายและความสูง

m = −(−10.91)/8 = 1.364

h_i = 1.364·5 = 6.818 cm

คำตอบ

h_i = 6.818 cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: w = 20 mm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

แถบมืดแรก

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·3/(0.15 × 10⁻³) = 10 mm

ความกว้างของแถบสว่างกลาง

w = 2y₁ = 20 mm

คำตอบ

w = 20 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers