ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 45 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 45 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 9 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 9 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 3 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 3 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 55° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 40 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 40° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 10 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

รถ 800 kg ขึ้นเนินลาด 6° ด้วย 36 km/h คงที่ แรงต้านอากาศและแรงต้านการหมุนของล้อรวมกันเป็น 650 N จงหากำลัง P ที่ล้อต้องส่ง ในหน่วย kW

m = 800 kgθ = 6°F_r = 650 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 2.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 3 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 800 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 3 mμ = 0.2k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 2 kg เคลื่อนที่ด้วย 3 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 12 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 1.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 15° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 12 gM = 1.5 kgL = 1 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

ท่อพิโตต์สแตติกในท่อน้ำอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 30 kPa จงหาความเร็วของน้ำ v ที่ปลายท่อ

p₀ − p = 30 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

สายยางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 20 mm ใช้ไซฟอนน้ำจากถังเปิด จุดสูงสุด C ของสายยางอยู่สูงกว่าผิวน้ำ 1 m และปลายทางออก (เปิดสู่อากาศ) อยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 2.5 m ไม่คิดการสูญเสียและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการไหล Q

d = 20 mmz_C = +1 mz₂ = −2.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 30 L บรรจุCO₂ปริมาณ 20 g ที่ 30 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 20 gM = 44.01 g/molV = 30 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของN₂ที่ 550 kPa และ 160 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 28.01 g/molP = 550 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 4200 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 325 °C และปล่อย 2023 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 325 °CQ_H = 4200 kJQ_L = 2023 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนคาร์โนต์รับความร้อน 130 kW จากแหล่งที่ 1000 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 27 °C งานทั้งหมดของมันขับตู้เย็นคาร์โนต์ที่ดึงความร้อนจากช่องแช่แข็งที่ -5 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 27 °C เช่นกัน จงหาอัตรา Q̇_L ที่ความร้อนถูกดึงออกจากช่องแช่แข็ง

T_H = 1000 °CT₀ = 27 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 130 kW

Q̇_L = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุอยู่หน้าเลนส์กระจายแสงบาง 10 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 5 cm จงหากำลังขยาย m (เป็นลบสำหรับภาพหัวกลับ)

d_o = 10 cmf = −5 cm

m =

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เลนส์บางสองอันมีแกนร่วมกัน ห่างกัน 50 cm: เลนส์ 1 มี f₁ = 10 cm และเลนส์ 2 มี f₂ = 5 cm วัตถุอยู่หน้าเลนส์ 1 เป็นระยะ 30 cm จงหาตำแหน่ง d_i2 ของภาพสุดท้ายโดยวัดจากเลนส์ 2 (เป็นบวกเมื่ออยู่ไกลกว่าเลนส์ 2 ใช้ข้อตกลงภาพจริงเป็นบวก)

f₁ = 10 cmf₂ = 5 cms = 50 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 13.02 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6) = 13.02 m

คำตอบ

s = 13.02 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.354 s

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−25 = 9·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 9·t − 25 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (9 + √(9² + 2·9.81·25))/9.81 = 3.354 s

คำตอบ

t = 3.354 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.803 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

คำตอบ

a = 4.803 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 10.09 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 2.943)/3.5 = 4.765 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·4.765 + 2.943 = 10.09 N

คำตอบ

T = 10.09 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 153.3 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 55° = 22.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 55° = 32.77 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·32.77/9.81 = 6.68 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 22.94·6.68 = 153.3 m

คำตอบ

x = 153.3 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 113.6 m

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24.51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20.57 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 10 + 20.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.57 + √(423.1 + 196.2))/9.81 = 4.634 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 24.51·4.634 = 113.6 m

คำตอบ

x = 113.6 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: P = 14.7 kW

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) กำลังคือแรงคูณอัตราเร็ว: P = F·v

แรงขับ

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 6° = 820.3 N

F = 820.3 + 650 = 1470 N

กำลัง

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1470·10 = 14703 W = 14.7 kW

คำตอบ

P = 14.7 kW

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 48.9 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.2·3) = 95.65 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 95.65 → x = √(2·95.65/800) = 0.489 m = 48.9 cm

คำตอบ

x = 48.9 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −0.8182 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (2 − 3.5)/(2 + 3.5)·3 = −0.8182 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3.5)·3 = 2.182 m/s

คำตอบ

v′₁ = −0.8182 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 103 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 15°) = 0.03407 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.03407) = 0.8176 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 1.512·0.8176/0.012 = 103 m/s

คำตอบ

v = 103 m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 82.77 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3.75 = 82.77 kN

คำตอบ

F = 82.77 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 264 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·5.25·5 = 264 kN

คำตอบ

F = 264 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 7.746 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง

การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·30000/1000) = 7.746 m/s

คำตอบ

v = 7.746 m/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 2.2 L/s

ความเร็วในสายยาง

ผิวน้ำและทางออกเปิดสู่อากาศทั้งคู่ พจน์ความดันจึงหักล้างกัน

v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

อัตราการไหล

Q = A·v = 0.0003142·7.004 = 0.0022 m³/s = 2.2 L/s

คำตอบ

Q = 2.2 L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 38.18 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 20/44.01 = 0.4544 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 0.4544·8.314·303.1/0.03 = 38.18 kPa

คำตอบ

P = 38.18 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 4.278 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273.15 = 433.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 550·28.01/(8.314·433.1) = 4.278 kg/m³

คำตอบ

ρ = 4.278 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 14.96 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 598.1·2023/4200 = 288.1 K = 14.96 °C

คำตอบ

T_L = 14.96 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_L = 832.5 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

งานของเครื่องยนต์

η = 1 − 300.1/1273 = 0.7642

Ẇ = 0.7642·130 = 99.35 kW

ความร้อนที่ตู้เย็นดึงออก

COP_R = 268.1/(300.1 − 268.1) = 8.38

Q̇_L = 8.38·99.35 = 832.5 kW

คำตอบ

Q̇_L = 832.5 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: m = 0.3333

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/10

d_i = −3.333 cm

กำลังขยาย

m = −d_i/d_o = −(−3.333)/10 = 0.3333

คำตอบ

m = 0.3333

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i2 = 5.833 cm

ภาพของเลนส์ 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/30 → d_i1 = 15 cm

วัตถุของเลนส์ 2

d_o2 = 50 − 15 = 35 cm

ภาพสุดท้าย

1/d_i2 = 1/5 − 1/35 → d_i2 = 5.833 cm

คำตอบ

d_i2 = 5.833 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers