ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 260 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 1500 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 1.5 m/s² เป็นเวลา 12 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 20 s และสุดท้ายเบรกด้วย 4 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 20 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 35 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 25° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.4 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 35 kgθ = 25°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 2.5 kg บนทางลาด 35° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 7 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 2.5 kgm₂ = 7 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 14 m/s ที่มุม 40° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 8 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 14 m/sθ = 40°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 40° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.35 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 15 m

θ = 25°μ = 0.35d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 1000 N/m ที่ฐานของเนินลาด 25° ถูกกด 10 cm กับก้อนวัตถุ 2 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.2 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 2 kgk = 1000 N/mx = 10 cmθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วย 7 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 4 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 2.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 0.5 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 40° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 2.5 kgL = 0.5 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

ท่อพิโตต์สแตติกในอุโมงค์ลมอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 1400 Pa ความหนาแน่นของอากาศคือ 1.2 kg/m³ จงหาอัตราเร็วอากาศ v

p₀ − p = 1400 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 300 mm คอคอด 150 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 390 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.99 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 390 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

30 g ของCH₄มีปริมาตร V เท่าใดที่ 350 kPa และ 100 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 30 gM = 16.04 g/molP = 350 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

Heปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 200 kPa, 10 L, 15 °C ไปเป็น 750 kPa และ 140 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 200 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 140 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 3300 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 775 °C และปล่อย 923 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 775 °CQ_H = 3300 kJQ_L = 923 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 7 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 22 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ -10 °C COP จริงของมันคือ 60% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้

T_H = 22 °CT_L = -10 °Cη_II = 60%Q̇_H = 7 kW

Ẇ = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

แสงภายในบล็อกโปร่งใสสะท้อนกลับหมดที่รอยต่อกับอากาศ (n = 1.00) สำหรับทุกมุมตกกระทบที่เกิน 24.4° จงหาดัชนีหักเห n₁ ของบล็อก

θ_c = 24.4°n₂ = 1.00

n₁ =

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เซนเซอร์ที่อยู่นิ่งส่งคลื่นอัลตราซาวด์ 20 kHz ไปยังรถที่เคลื่อนที่เข้าหาด้วย 15 m/s และผสมเสียงสะท้อนกับสัญญาณที่ส่งออก จงหาความถี่บีต f_b (อัตราเร็วเสียง 343 m/s)

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 1.739 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·1500) = 1.739 m/s²

คำตอบ

a = 1.739 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 508.5 m

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 1.5·12 = 18 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·1.5·12² = 108 m

s₂ = 18·20 = 360 m

s₃ = 18²/(2·4) = 40.5 m

ระยะทางรวม

s = 108 + 360 + 40.5 = 508.5 m

คำตอบ

s = 508.5 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 269.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 145.1 + 124.5 = 269.6 N

คำตอบ

F = 269.6 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 29.92 N

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 14.07 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.009 N

ความเร่งของระบบ

a = (68.67 − 14.07 − 2.009)/9.5 = 5.536 m/s²

แรงตึงจากมวลที่แขวน

m₂·g − T = m₂·a → T = 7·(9.81 − 5.536) = 29.92 N

คำตอบ

T = 29.92 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 3.983 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 14·cos 40° = 10.72 m/s

t = x/v_x = 8/10.72 = 0.7459 s

ความสูงขณะนั้น

y = 8.999·0.7459 − ½·9.81·0.7459² = 3.983 m

คำตอบ

y = 3.983 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 52.2 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 40° = 13.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 40° = 10.93 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 35 + 10.93·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.93 + √(119.4 + 686.7))/9.81 = 4.008 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 13.02·4.008 = 52.2 m

คำตอบ

x = 52.2 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.57 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.4226 − 0.35·0.9063)) = 5.57 m/s

คำตอบ

v = 5.57 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 0.422 m

พลังงานสปริง

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5/(19.62·(0.4226 + 0.2·0.9063)) = 0.422 m

คำตอบ

d = 0.422 m

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 6 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·7 = −1 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·7 = 6 m/s

คำตอบ

v′₂ = 6 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 759 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 0.5·(1 − cos 40°) = 0.117 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.117) = 1.515 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 2.505·1.515/0.005 = 759 m/s

คำตอบ

v = 759 m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 165.5 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·7.5 = 165.5 kN

คำตอบ

F = 165.5 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 370.8 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·5·6 = 370.8 kN

คำตอบ

F = 370.8 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 48.3 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง

การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1400/1.2) = 48.3 m/s

คำตอบ

v = 48.3 m/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 177.4 L/s

ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.39 = 48206 Pa

ความเร็วที่คอคอด

สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·48206/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.14 m/s

อัตราการไหลจริง

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.01767·10.14 = 0.1774 m³/s = 177.4 L/s

คำตอบ

Q = 177.4 L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 16.58 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 30/16.04 = 1.87 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 1.87·8.314·373.1/350 = 16.58 L

คำตอบ

V = 16.58 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 3.823 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 288.1 K, T₂ = 413.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(200/750)·(413.1/288.1) = 3.823 L

คำตอบ

V₂ = 3.823 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 20.01 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1048·923/3300 = 293.2 K = 20.01 °C

คำตอบ

T_L = 20.01 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ = 1.265 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

COP คาร์โนต์และ COP จริง

COP_max = 295.1/(295.1 − 263.1) = 9.223

COP = 0.6·9.223 = 5.534

กำลังที่ป้อนเข้า

Ẇ = Q̇_H/COP = 7/5.534 = 1.265 kW

คำตอบ

Ẇ = 1.265 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: n₁ = 2.421

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

ดัชนีหักเหของบล็อก

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.4131 = 2.421

คำตอบ

n₁ = 2.421

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f_b = 1829 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความถี่ที่รถ

f′ = 20000·(343 + 15)/343 = 20875 Hz

ความถี่ของเสียงสะท้อน

f″ = f′·343/(343 − 15) = 21829 Hz

ความถี่บีต

f_b = |f″ − f| = 1829 Hz

คำตอบ

f_b = 1829 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers