ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 80 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 1.5 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 5.5 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 80 km/ht_r = 1.5 sa = −5.5 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 14 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 14 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 5 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 20° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 1 kg บนทางลาด 25° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 8 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 1 kgm₂ = 8 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 65° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 38 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 45° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 35 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 40° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 11 m

θ = 40°μ = 0.3d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1.5 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 4 kgh = 4.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 4 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบา และฝังอยู่ในนั้น ก้อนไม้แกว่งขึ้นจนสูงกว่าตอนเริ่มต้น 22 cm ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 4 kgh = 22 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.6 kg กระทบผนังด้วย 11 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 14 m/s การสัมผัสใช้เวลา 10 ms หาขนาดของอิมพัลส์ J ที่ผนังให้แก่ลูกบอล

m = 0.6 kgv_in = 11 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 170 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 170 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 200 mm เป็น 75 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 9 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 350 kPa และความเร็วคือ 1.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 350 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 30 L บรรจุCH₄ปริมาณ 160 g ที่ 50 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 160 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของN₂ที่ 250 kPa และ 190 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

ตู้เย็นผันกลับได้รักษาห้องเย็นที่ 0 °C โดยดึงความร้อน 9 kW ออก และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 28 °C จงหาอัตรา Q̇_H ที่มันปล่อยความร้อน

T_L = 0 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 9 kW

Q̇_H = kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อน 1200 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 800 °C ให้งาน 696 kJ และปล่อยส่วนที่เหลือสู่แหล่งความร้อนที่ 25 °C ต่อวัฏจักร จงหาเอนโทรปีทั้งหมดที่เกิดขึ้น S_gen ต่อวัฏจักร

T_H = 800 °CT_L = 25 °CQ_H = 1200 kJW = 696 kJ

S_gen = kJ/K

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

แหล่งกำเนิดเล็กส่งเสียงเท่ากันทุกทิศทาง ระดับเสียงคือ 100 dB ที่ระยะ 10 m จากแหล่งกำเนิด จงหาระดับเสียง β₂ ที่ระยะ 40 m โดยไม่คิดการดูดกลืนและการสะท้อน

β₁ = 100 dBr₁ = 10 mr₂ = 40 m

β₂ = dB

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 532 nm ตกบนสลิตสองช่องที่ห่างกัน 0.3 mm ฉากอยู่ห่าง 2.5 m จงหาระยะ y₃ จากแถบสว่างกลางถึงแถบสว่างลำดับที่ 3

λ = 532 nmd = 0.3 mmL = 2.5 mm = 3

y₃ = mm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 78.23 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 22.22·1.5 = 33.33 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5.5) = 44.89 m

รวม

d = 33.33 + 44.89 = 78.23 m

คำตอบ

d = 78.23 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.9 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−20 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 20 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (14 + √(14² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.9 s

คำตอบ

t = 3.9 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 23.69 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 16.78 + 6.914 = 23.69 N

คำตอบ

F = 23.69 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 8.062 m/s²

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 4.146 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.778 N

ความเร่งของระบบ

a = (78.48 − 4.146 − 1.778)/9 = 8.062 m/s²

คำตอบ

a = 8.062 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 7.021 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 65° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 65° = 34.44 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·34.44/9.81 = 7.021 s

คำตอบ

t = 7.021 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 6.592 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 45° = 24.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 45° = 24.75 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 50 + 24.75·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.75 + √(612.5 + 981))/9.81 = 6.592 s

คำตอบ

t = 6.592 s

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 9.441 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 9.441 m/s

คำตอบ

v = 9.441 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 81.19 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.2·1.5) = 164.8 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 164.8 → x = √(2·164.8/500) = 0.8119 m = 81.19 cm

คำตอบ

x = 81.19 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 1664 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

การแกว่งหลังการชน

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.22) = 2.078 m/s

การชน

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 4)·2.078/0.005 = 1664 m/s

คำตอบ

v = 1664 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: J = 15 N·s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.6·(14 + 11) = 15 N·s

คำตอบ

J = 15 N·s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 117.7 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4 = 117.7 kN

คำตอบ

F = 117.7 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.375 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2·4.5 = 77.7 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 3.375/(2·4.5) = 2.375 m

คำตอบ

y_cp = 2.375 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 169.5 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−0.5078) = 169.5 kPa

คำตอบ

p₂ = 169.5 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 205.9 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(200/75)² = 10.67 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 10.67²)/1000 = −55.76 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−55.76) − 88.29 = 205.9 kPa

คำตอบ

p₂ = 205.9 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 893.3 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 160/16.04 = 9.975 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 9.975·8.314·323.1/0.03 = 893.3 kPa

คำตอบ

P = 893.3 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 1.819 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 250·28.01/(8.314·463.1) = 1.819 kg/m³

คำตอบ

ρ = 1.819 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_H = 9.923 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9·301.1/273.1 = 9.923 kW

คำตอบ

Q̇_H = 9.923 kW

กำลังที่ป้อนเข้า: Ẇ = 0.9226 kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: S_gen = 0.5722 kJ/K

การกำเนิดเอนโทรปี: ตลอดวัฏจักรสมบูรณ์ สารทำงานไม่มีการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีสุทธิ แหล่งความร้อนร้อนสูญเสีย Q_H/T_H และแหล่งความร้อนเย็นได้รับ Q_L/T_L ผลรวมของทั้งสองคือเอนโทรปีที่เกิดขึ้น ซึ่งเป็นศูนย์สำหรับวัฏจักรผันกลับได้และเป็นบวกสำหรับวัฏจักรจริงทุกวัฏจักร

ความร้อนที่ปล่อยทิ้ง

Q_L = Q_H − W = 1200 − 696 = 504 kJ

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของแหล่งความร้อน

ΔS_H = −1200/1073 = −1.118 kJ/K

ΔS_L = 504/298.1 = 1.69 kJ/K

S_gen = 1.69 − 1.118 = 0.5722 kJ/K

คำตอบ

S_gen = 0.5722 kJ/K

S_gen > 0 ดังนั้นเครื่องยนต์นี้เป็นไปได้แต่ผันกลับไม่ได้

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: β₂ = 87.96 dB

คลื่น: คลื่นคาบเคลื่อนที่ไปหนึ่งความยาวคลื่นในหนึ่งคาบ ดังนั้น v = fλ โดย T = 1/f บนเส้นเชือกที่ตึง v = √(T/μ) โดย T คือแรงตึง และ μ = m/L คือมวลต่อเมตร เสียงในอากาศเคลื่อนที่ด้วยความเร็วประมาณ 343 m/s ที่ 20 °C แสงในสุญญากาศเคลื่อนที่ด้วย c = 3.00 × 10⁸ m/s ความดังวัดบนสเกลลอการิทึม: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB โดย I₀ = 10⁻¹² W/m² ดังนั้นความเข้มเพิ่ม 10 เท่าจะเพิ่ม 10 dB แหล่งกำเนิดแบบจุดกระจายกำลัง P ออกเป็นทรงกลม: I = P/(4πr²)

อัตราส่วนความเข้ม

I₂/I₁ = (10/40)² = 0.0625

ระดับเสียงใหม่

β₂ = 100 + 10·log₁₀(0.0625) = 87.96 dB

คำตอบ

β₂ = 87.96 dB

ทุกครั้งที่ระยะทางเพิ่มเป็นสองเท่า ระดับเสียงลดลงประมาณ 6 dB

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: y₃ = 13.3 mm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างแถบ

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2.5/(0.3 × 10⁻³) = 4.433 mm

แถบลำดับที่ 3

y₃ = 3·4.433 = 13.3 mm

คำตอบ

y₃ = 13.3 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers