ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 45 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 1.4 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4.5 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 45 km/ht_r = 1.4 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 13 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 13 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 6 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 6 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 9 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 9 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 26 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 54 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 26 m/sθ = 50°x = 54 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 50° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 19 m/sθ = 50°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

รถที่แล่นด้วย 40 km/h บนถนนราบเบรกอย่างแรงและไถลหยุดโดยล้อล็อก สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.6 จงหาระยะหยุด d

v = 40 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 3 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.25) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 3 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 1 m

m₁ = 3 kgm₂ = 3 kgμ = 0.25d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วย 11 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 2.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.5 kg กระทบผนังด้วย 21 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 4 m/s การสัมผัสใช้เวลา 40 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.5 kgv_in = 21 m/sv_out = 4 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหล 16 L/s ผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 75 mm ความดันในส่วนแคบคือ 110 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาความดัน p₁ ในส่วนกว้าง

Q = 16 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

สายยางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 40 mm ใช้ไซฟอนน้ำจากถังเปิด จุดสูงสุด C ของสายยางอยู่สูงกว่าผิวน้ำ 2 m และปลายทางออก (เปิดสู่อากาศ) อยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 2.5 m ไม่คิดการสูญเสียและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความดันสัมบูรณ์ p_C ที่จุด C ความดันบรรยากาศคือ 101.3 kPa

d = 40 mmz_C = +2 mz₂ = −2.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 30 L บรรจุN₂ปริมาณ 400 g ที่ 90 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 400 gM = 28.01 g/molV = 30 LT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของArที่ 450 kPa และ 100 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 39.95 g/molP = 450 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อนจากแหล่งที่ 750 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 30 °C ประสิทธิภาพเชิงความร้อนจริงของมันคือ 49% จงหาประสิทธิภาพตามกฎข้อที่สอง η_II ซึ่งเป็นอัตราส่วนของประสิทธิภาพจริงต่อประสิทธิภาพคาร์โนต์

T_H = 750 °CT_L = 30 °Cη = 49%

η_II = %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนรักษาอุณหภูมิบ้านไว้ที่ 20 °C ขณะที่ภายนอกเป็น 2 °C โดยส่งความร้อน 15 kW ให้บ้าน หากำลังป้อนเข้าต่ำสุด Ẇ_min

T_H = 20 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 15 kW

Ẇ_min = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

ผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วย 5 m/s เข้าหาแหล่งกำเนิด 440 Hz ที่อยู่นิ่ง อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s จงหาความถี่ f′ ที่ผู้สังเกตได้ยิน

f = 440 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 550 nm ตกบนสลิตสองช่องที่ห่างกัน 0.4 mm ฉากอยู่ห่าง 1.5 m จงหาระยะ y₄ จากแถบสว่างกลางถึงแถบสว่างลำดับที่ 4

λ = 550 nmd = 0.4 mmL = 1.5 mm = 4

y₄ = mm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 34.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 12.5·1.4 = 17.5 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

รวม

d = 17.5 + 17.36 = 34.86 m

คำตอบ

d = 34.86 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.74 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−20 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 20 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (13 + √(13² + 2·9.81·20))/9.81 = 3.74 s

คำตอบ

t = 3.74 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.479 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

คำตอบ

a = 1.479 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 0.5971 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 17.66)/11.5 = 0.5971 m/s²

คำตอบ

a = 0.5971 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 13.15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 26·cos 50° = 16.71 m/s

t = x/v_x = 54/16.71 = 3.231 s

ความสูงขณะนั้น

y = 19.92·3.231 − ½·9.81·3.231² = 13.15 m

คำตอบ

y = 13.15 m

ลูกบอลกำลังตกลงมาแล้วที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 61.12 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 50° = 12.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 50° = 14.55 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 50 + 14.55·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.55 + √(211.8 + 981))/9.81 = 5.004 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 12.21·5.004 = 61.12 m

คำตอบ

x = 61.12 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 10.49 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

อัตราเร็วในหน่วยฐาน

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

สมดุลพลังงาน

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.6·9.81) = 10.49 m

คำตอบ

d = 10.49 m

การเพิ่มอัตราเร็วเป็นสองเท่าทำให้ระยะหยุดยาวขึ้นสี่เท่า

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 2.712 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 29.43·1 = 29.43 J

μ·m₁g·d = 0.25·29.43·1 = 7.357 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 22.07 → v = √(2·22.07/6) = 2.712 m/s

คำตอบ

v = 2.712 m/s

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 1 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·11 = 1 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·11 = 12 m/s

คำตอบ

v′₁ = 1 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 312.5 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.5·(4 + 21) = 12.5 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 12.5/0.04 = 312.5 N

คำตอบ

F_avg = 312.5 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 101.2 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN

คำตอบ

F = 101.2 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 185.4 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·6 = 185.4 kN

คำตอบ

F = 185.4 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₁ = 116.1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็ว

v₁ = Q/A₁ = 0.016/0.01767 = 0.9054 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.016/0.004418 = 3.622 m/s

เบอร์นูลลี

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(3.622² − 0.9054²)/1000 = 110 + 6.148 = 116.1 kPa

คำตอบ

p₁ = 116.1 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p_C = 57.15 kPa

ความเร็วในสายยาง

ผิวน้ำและทางออกเปิดสู่อากาศทั้งคู่ พจน์ความดันจึงหักล้างกัน

v = √(2g·2.5) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึง C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.004²/2 + 9.81·2)/1000 = 101.3 − 44.15 = 57.15 kPa

คำตอบ

p_C = 57.15 kPa

ถ้าความดันนี้ลดลงถึงความดันไอของน้ำ ไซฟอนจะหยุดทำงาน

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 1437 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 400/28.01 = 14.28 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 14.28·8.314·363.1/0.03 = 1437 kPa

คำตอบ

P = 1437 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 5.795 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 450·39.95/(8.314·373.1) = 5.795 kg/m³

คำตอบ

ρ = 5.795 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: η_II = 69.63 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_Carnot = 1 − 303.1/1023 = 70.37 %

ประสิทธิภาพตามกฎข้อที่สอง

η_II = η/η_Carnot = 49/70.37 = 69.63 %

คำตอบ

η_II = 69.63 %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ_min = 0.921 kW

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

กำลังต่ำสุด

เครื่องผันกลับได้ต้องการงานน้อยที่สุด ซึ่งมี COP สูงที่สุด

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 15/16.29 = 0.921 kW

คำตอบ

Ẇ_min = 0.921 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f′ = 446.4 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

สูตรดอปเพลอร์

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 446.4 Hz

คำตอบ

f′ = 446.4 Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: y₄ = 8.25 mm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างแถบ

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1.5/(0.4 × 10⁻³) = 2.063 mm

แถบลำดับที่ 4

y₄ = 4·2.063 = 8.25 mm

คำตอบ

y₄ = 8.25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers