ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 90 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 7.5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 90 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 9 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² หาความสูงสูงสุด h_max เหนือพื้น

v₀ = 9 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 20 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 35° เหนือแนวนอนด้วยแรง 110 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 20 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 1.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 1.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 40 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

t = s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

โยนลูกบอลจากระดับพื้นด้วย 26 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอน มันตกลงบนหลังคาเรียบของอาคารสูง 8 m ขณะกำลังตกลงมา ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาระยะทางในแนวนอน x จากจุดยิงถึงจุดที่ตก

v₀ = 26 m/sθ = 50°h_roof = 8 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 10 kg แขวนบนเชือกเบายาว 1.5 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 20° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 10 kgL = 1.5 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = N

8.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 12 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 3 m จงหาอัตราเร็ว v ของรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 0.5 kgh = 12 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 1.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 3 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 1300 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 22 m/s ชนกับรถมวล 1200 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 23 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาทิศทาง θ ของซากรถทันทีหลังการชน วัดจากทิศตะวันออกไปทางเหนือ

m₁ = 1300 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 23 m/s (N)

θ = °

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 130 kPa และความเร็วคือ 2.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 130 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 180 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4.5 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา ความเร็วของลำน้ำ v ใช้ g = 9.81 m/s²

p_air = 180 kPa (เกจ)h = 4.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

140 g ของArมีปริมาตร V เท่าใดที่ 100 kPa และ 0 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 140 gM = 39.95 g/molP = 100 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

CO₂ปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 200 kPa, 5 L, 30 °C ไปเป็น 450 kPa และ 120 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

ตู้เย็นผันกลับได้รักษาห้องเย็นที่ 4 °C โดยดึงความร้อน 5.5 kW ออก และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 30 °C จงหาอัตรา Q̇_H ที่มันปล่อยความร้อน

T_L = 4 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 5.5 kW

Q̇_H = kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนรักษาอุณหภูมิบ้านไว้ที่ 21 °C ขณะที่ภายนอกเป็น 5 °C โดยส่งความร้อน 9 kW ให้บ้าน หากำลังป้อนเข้าต่ำสุด Ẇ_min

T_H = 21 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 9 kW

Ẇ_min = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

ผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วย 20 m/s ออกจากแหล่งกำเนิด 1000 Hz ที่อยู่นิ่ง อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s จงหาความถี่ f′ ที่ผู้สังเกตได้ยิน

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เลนส์บางสองอันมีแกนร่วมกัน ห่างกัน 20 cm: เลนส์ 1 มี f₁ = 12 cm และเลนส์ 2 มี f₂ = −15 cm วัตถุอยู่หน้าเลนส์ 1 เป็นระยะ 20 cm จงหาตำแหน่ง d_i2 ของภาพสุดท้ายโดยวัดจากเลนส์ 2 (เป็นบวกเมื่ออยู่ไกลกว่าเลนส์ 2 ใช้ข้อตกลงภาพจริงเป็นบวก)

f₁ = 12 cmf₂ = −15 cms = 20 cmd_o = 20 cm

d_i2 = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 41.67 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·7.5) = 41.67 m

คำตอบ

s = 41.67 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 29.13 m

ระยะที่ขึ้นเหนือหลังคา

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

ความสูงเหนือพื้น

h_max = 25 + 4.128 = 29.13 m

คำตอบ

h_max = 29.13 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.842 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 110·sin 35° = 133.1 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 90.11 − 33.28

a = 56.83/20 = 2.842 m/s²

คำตอบ

a = 2.842 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 4.415 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 1.472)/3 = 4.415 m/s²

คำตอบ

a = 4.415 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 3.446 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 25° = 36.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 25° = 16.9 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·16.9/9.81 = 3.446 s

คำตอบ

t = 3.446 s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 60.31 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 16.71 m/s, v_y = 19.92 m/s

เวลาที่ตกลงบนหลังคา

รากที่มากกว่า: ลูกบอลกำลังตกลง

8 = 19.92·t − 4.905·t²

t = (19.92 + √(19.92² − 2·9.81·8))/9.81 = 3.609 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 16.71·3.609 = 60.31 m

คำตอบ

x = 60.31 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 109.9 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 20°) = 1.775 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·1.775/1.5 = 109.9 N

คำตอบ

T = 109.9 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 109.9 N

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 10.85 m/s

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(12 − 6) = 117.7 m²/s²

v = 10.85 m/s

คำตอบ

v = 10.85 m/s

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −1 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·3 = −1 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·3 = 2 m/s

คำตอบ

v′₁ = −1 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: θ = 43.98 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 1300·22 = 28600 kg·m/s

p_y = 1200·23 = 27600 kg·m/s

ทิศทาง

tan θ = p_y/p_x = 0.965 → θ = 43.98°

คำตอบ

θ = 43.98°

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 235.4 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

คำตอบ

F = 235.4 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.939 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·5 = 138.3 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 2.604/(2.75·5) = 2.939 m

คำตอบ

y_cp = 2.939 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 119.7 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(75/50)² = 5.063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 5.063²)/1000 = −10.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 130 + (−10.28) = 119.7 kPa

คำตอบ

p₂ = 119.7 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: v = 21.17 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ

v = √(2·(180000/1000 + 9.81·4.5)) = 21.17 m/s

คำตอบ

v = 21.17 m/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 79.58 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 140/39.95 = 3.504 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 3.504·8.314·273.1/100 = 79.58 L

คำตอบ

V = 79.58 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 2.882 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 303.1 K, T₂ = 393.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/450)·(393.1/303.1) = 2.882 L

คำตอบ

V₂ = 2.882 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_H = 6.016 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5.5·303.1/277.1 = 6.016 kW

คำตอบ

Q̇_H = 6.016 kW

กำลังที่ป้อนเข้า: Ẇ = 0.516 kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ_min = 0.4895 kW

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 278.1) = 18.38

กำลังต่ำสุด

เครื่องผันกลับได้ต้องการงานน้อยที่สุด ซึ่งมี COP สูงที่สุด

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 9/18.38 = 0.4895 kW

คำตอบ

Ẇ_min = 0.4895 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f′ = 941.7 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

สูตรดอปเพลอร์

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 941.7 Hz

คำตอบ

f′ = 941.7 Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i2 = 30 cm

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

ภาพของเลนส์ 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/20 → d_i1 = 30 cm

วัตถุของเลนส์ 2

d_o2 = 20 − 30 = −10 cm

ภาพสุดท้าย

1/d_i2 = 1/(−15) − 1/(−10) → d_i2 = 30 cm

คำตอบ

d_i2 = 30 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers