ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 80 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 3 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 4.5 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 4.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 5 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 25° เหนือแนวนอนด้วยแรง 30 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 5 kgF = 30 Nθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 5.5 kg บนทางลาด 40° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 7 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 5.5 kgm₂ = 7 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 34 m/s และต้องตกห่างออกไป 110 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้

v₀ = 34 m/sR = 110 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 20° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 22 m/sθ = 20°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg เลื่อนลงไป 4 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.2 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 0.5 kgθ = 20°μ = 0.2d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 13.5 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 3 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 2 kgh = 13.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 5 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 13 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 3 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 27 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 2 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 5 kgu = 13 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 27 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 900 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 13 m/s ชนกับรถมวล 1100 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 13 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาทิศทาง θ ของซากรถทันทีหลังการชน วัดจากทิศตะวันออกไปทางเหนือ

m₁ = 900 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 13 m/s (N)

θ = °

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 3.5 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.64 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 20 mmh = 3.5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 6 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 170 kPa และความเร็วคือ 2 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 170 kPav₁ = 2 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

450 g ของCO₂มีปริมาตร V เท่าใดที่ 800 kPa และ 30 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 450 gM = 44.01 g/molP = 800 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของO₂ที่ 350 kPa และ 30 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 32 g/molP = 350 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

ตู้เย็นผันกลับได้รักษาห้องเย็นที่ 0 °C โดยดึงความร้อน 9.5 kW ออก และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 30 °C จงหาอัตรา Q̇_H ที่มันปล่อยความร้อน

T_L = 0 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 9.5 kW

Q̇_H = kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ตู้เย็นรักษาอุณหภูมิช่องเย็นไว้ที่ 4 °C ในครัวที่ 32 °C โดยดึงความร้อนออกจากช่องเย็น 5 kW หาสัมประสิทธิ์สมรรถนะสูงสุดที่เป็นไปได้ COP_max

T_H = 32 °CT_L = 4 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

ท่อปลายปิดข้างหนึ่ง ต้องมีฮาร์มอนิกที่ 7ที่ 500 Hz อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s จงหาความยาว L ของท่อ

v = 343 m/sn = 7f₇ = 500 Hz

L = m

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 450 nm ตกบนสลิตสองช่องที่ห่างกัน 0.2 mm ฉากอยู่ห่าง 1.5 m จงหาระยะ y₄ จากแถบสว่างกลางถึงแถบสว่างลำดับที่ 4

λ = 450 nmd = 0.2 mmL = 1.5 mm = 4

y₄ = mm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 82.3 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·3) = 82.3 m

คำตอบ

s = 82.3 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 88.29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

ความลึก

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

คำตอบ

d = 88.29 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.619 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 49.05 − 30·sin 25° = 36.37 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 27.19 − 9.093

a = 18.1/5 = 3.619 m/s²

คำตอบ

a = 3.619 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 54.27 N

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 34.68 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.266 N

ความเร่งของระบบ

a = (68.67 − 34.68 − 8.266)/12.5 = 2.058 m/s²

แรงตึงจากมวลที่แขวน

m₂·g − T = m₂·a → T = 7·(9.81 − 2.058) = 54.27 N

คำตอบ

T = 54.27 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: θ = 34.49 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

สูตรพิสัย

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·110/34² = 0.9335

มุม

2θ = 68.98° → θ = 34.49°

คำตอบ

θ = 34.49°

คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 55.51°

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 76.99 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20.67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7.524 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 40 + 7.524·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.524 + √(56.62 + 784.8))/9.81 = 3.724 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 20.67·3.724 = 76.99 m

คำตอบ

x = 76.99 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 3.687 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 4.905·0.9397 = 4.609 N

F = μN = 0.2·4.609 = 0.9218 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 0.9218·4 = 3.687 J

คำตอบ

W_f = 3.687 J

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 78.48 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(13.5 − 6) = 147.2 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·147.2/3 − 19.62 = 78.48 N

คำตอบ

N = 78.48 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = −8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 5·13 = 65 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

65 = 3·27 + 2·v′₂

v′₂ = (65 − 81)/2 = −8 m/s

คำตอบ

v′₂ = −8 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเศษที่สองกระเด็นถอยหลัง

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: θ = 50.71 °

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 900·13 = 11700 kg·m/s

p_y = 1100·13 = 14300 kg·m/s

ทิศทาง

tan θ = p_y/p_x = 1.222 → θ = 50.71°

คำตอบ

θ = 50.71°

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 104.8 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN

คำตอบ

F = 104.8 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 44.15 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

คำตอบ

F = 44.15 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 1.666 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0003142·8.287 = 0.001666 m³/s = 1.666 L/s

คำตอบ

Q = 1.666 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 35.02 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/40)² = 12.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 12.5²)/1000 = −76.13 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−76.13) − 58.86 = 35.02 kPa

คำตอบ

p₂ = 35.02 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 32.21 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 450/44.01 = 10.22 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 10.22·8.314·303.1/800 = 32.21 L

คำตอบ

V = 32.21 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 4.444 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 350·32/(8.314·303.1) = 4.444 kg/m³

คำตอบ

ρ = 4.444 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_H = 10.54 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9.5·303.1/273.1 = 10.54 kW

คำตอบ

Q̇_H = 10.54 kW

กำลังที่ป้อนเข้า: Ẇ = 1.043 kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: COP_max = 9.898

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 277.1/(305.1 − 277.1) = 9.898

คำตอบ

COP_max = 9.898

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: L = 1.2 m

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความยาวคลื่น

λ = v/f = 343/500 = 0.686 m

ความยาว

L = nλ/4 = 7·0.686/4 = 1.2 m

คำตอบ

L = 1.2 m

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: y₄ = 13.5 mm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างแถบ

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1.5/(0.2 × 10⁻³) = 3.375 mm

แถบลำดับที่ 4

y₄ = 4·3.375 = 13.5 mm

คำตอบ

y₄ = 13.5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers