ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 108 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 2.5 m/s² เป็นเวลา 5 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 8 s และสุดท้ายเบรกด้วย 4.5 m/s² จนหยุด จงหาระยะทางรวม s ระหว่างสองป้ายหยุด

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 8 sa₃ = −4.5 m/s²

s = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 35 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 35° เหนือแนวนอนด้วยแรง 120 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 35 kgF = 120 Nθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 6 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2.5 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 6 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 40 m/s ที่มุม 60° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 113 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 40 m/sθ = 60°x = 113 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 35° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 20 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 2000 N/m วางลูกบอล 0.2 kg บนสปริงและกดสปริงลง 8 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.2 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 2 kg เริ่มจากหยุดนิ่งที่ฐานของเนินลาด 15° และถูกดึงขึ้นเนินด้วยแรงคงที่ 10 N ขนานกับเนิน สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุหลังเคลื่อนที่ขึ้นเนินไป 9 m

m = 2 kgF = 10 Nθ = 15°μ = 0.1d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 5 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 26 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 2 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 40 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 3 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 5 kgu = 26 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 40 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.1 kg กระทบผนังด้วย 12 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 13 m/s การสัมผัสใช้เวลา 50 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.1 kgv_in = 12 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 1.5 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.64 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 40 mmh = 1.5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 75 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 7 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 360 kPa และความเร็วคือ 2.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 5 L บรรจุN₂ปริมาณ 180 g ที่ 50 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 180 gM = 28.01 g/molV = 5 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของN₂ที่ 350 kPa และ 130 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 28.01 g/molP = 350 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อนจากแหล่งที่ 450 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 15 °C ประสิทธิภาพเชิงความร้อนจริงของมันคือ 39% จงหาประสิทธิภาพตามกฎข้อที่สอง η_II ซึ่งเป็นอัตราส่วนของประสิทธิภาพจริงต่อประสิทธิภาพคาร์โนต์

T_H = 450 °CT_L = 15 °Cη = 39%

η_II = %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนรักษาอุณหภูมิบ้านไว้ที่ 21 °C ขณะที่ภายนอกเป็น 2 °C โดยส่งความร้อน 8 kW ให้บ้าน หากำลังป้อนเข้าต่ำสุด Ẇ_min

T_H = 21 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 8 kW

Ẇ_min = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุอยู่หน้าเลนส์รวมแสงบาง 20 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 10 cm จงหากำลังขยาย m (เป็นลบสำหรับภาพหัวกลับ)

d_o = 20 cmf = 10 cm

m =

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 450 nm ตกบนสลิตสองช่องที่ห่างกัน 0.4 mm ฉากอยู่ห่าง 1 m จงหาระยะห่าง Δy ระหว่างแถบสว่างที่อยู่ติดกัน

λ = 450 nmd = 0.4 mmL = 1 m

Δy = mm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 7.5 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/4 = 7.5 s

คำตอบ

t = 7.5 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 148.6 m

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 2.5·5 = 12.5 m/s

ระยะทางของแต่ละช่วง

s₁ = ½·2.5·5² = 31.25 m

s₂ = 12.5·8 = 100 m

s₃ = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

ระยะทางรวม

s = 31.25 + 100 + 17.36 = 148.6 m

คำตอบ

s = 148.6 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 0.4555 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 120·sin 35° = 274.5 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 98.3 − 82.36

a = 15.94/35 = 0.4555 m/s²

คำตอบ

a = 0.4555 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 17.31 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 0)/8.5 = 2.885 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·2.885 + 0 = 17.31 N

คำตอบ

T = 17.31 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 39.14 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 40·cos 60° = 20 m/s

t = x/v_x = 113/20 = 5.65 s

ความสูงขณะนั้น

y = 34.64·5.65 − ½·9.81·5.65² = 39.14 m

คำตอบ

y = 39.14 m

ลูกบอลกำลังตกลงมาแล้วที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.085 s

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 35° = 16.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 35° = 11.47 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 35 + 11.47·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.47 + √(131.6 + 686.7))/9.81 = 4.085 s

คำตอบ

t = 4.085 s

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 3.262 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

ความสูง

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 6.4/1.962 = 3.262 m

คำตอบ

h = 3.262 m

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.219 m/s

แรงตามแนวพื้นเอียง

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 5.078 N

μ·mg·cos θ = 1.895 N

งาน–พลังงาน

½mv² = (10 − 6.973)·9 = 27.24 J

v = √(2·27.24/2) = 5.219 m/s

คำตอบ

v = 5.219 m/s

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 16.67 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 5·26 = 130 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

130 = 2·40 + 3·v′₂

v′₂ = (130 − 80)/3 = 16.67 m/s

คำตอบ

v′₂ = 16.67 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 50 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.1·(13 + 12) = 2.5 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 2.5/0.05 = 50 N

คำตอบ

F_avg = 50 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 95.65 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

คำตอบ

F = 95.65 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 349.6 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·9 = 349.6 kN

คำตอบ

F = 349.6 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 4.363 L/s

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.001257·5.425 = 0.004363 m³/s = 4.363 L/s

คำตอบ

Q = 4.363 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 284.6 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−6.752) − 68.67 = 284.6 kPa

คำตอบ

p₂ = 284.6 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 3453 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 180/28.01 = 6.426 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 6.426·8.314·323.1/0.005 = 3453 kPa

คำตอบ

P = 3453 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 2.925 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 350·28.01/(8.314·403.1) = 2.925 kg/m³

คำตอบ

ρ = 2.925 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: η_II = 64.83 %

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_Carnot = 1 − 288.1/723.1 = 60.15 %

ประสิทธิภาพตามกฎข้อที่สอง

η_II = η/η_Carnot = 39/60.15 = 64.83 %

คำตอบ

η_II = 64.83 %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ_min = 0.5167 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 275.1) = 15.48

กำลังต่ำสุด

เครื่องผันกลับได้ต้องการงานน้อยที่สุด ซึ่งมี COP สูงที่สุด

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 8/15.48 = 0.5167 kW

คำตอบ

Ẇ_min = 0.5167 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: m = −1

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/20

d_i = 20 cm

กำลังขยาย

m = −d_i/d_o = −20/20 = −1

คำตอบ

m = −1

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: Δy = 1.125 mm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างแถบ

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·1/(0.4 × 10⁻³) = 1.125 mm

คำตอบ

Δy = 1.125 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers