ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 35 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 35 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 2.9 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 2.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 19 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 19 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 5.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 5.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 55° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 14 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 31 m/s ที่มุม 30° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 5 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ที่ลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 31 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงไป 12 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.25 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.25d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 1.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1 m (μ = 0.25) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 1 kgh = 1.5 mL = 1 mμ = 0.25k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 5 kg เคลื่อนที่ด้วย 4 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 4 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 12 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.4 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 20° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 12 gM = 5 kgL = 1.4 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหล 11 L/s ผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ความดันในส่วนแคบคือ 90 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาความดัน p₁ ในส่วนกว้าง

Q = 11 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 90 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 75 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 6 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 340 kPa และความเร็วคือ 2.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 340 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 50 L บรรจุHeปริมาณ 40 g ที่ 50 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 40 gM = 4.003 g/molV = 50 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

N₂ปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 350 kPa, 5 L, 40 °C ไปเป็น 600 kPa และ 70 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 40 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 400 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 30 °C หาประสิทธิภาพเชิงความร้อนสูงสุดที่เป็นไปได้ η_max

T_H = 400 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนคาร์โนต์รับความร้อน 40 kW จากแหล่งที่ 650 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 30 °C งานทั้งหมดของมันขับตู้เย็นคาร์โนต์ที่ดึงความร้อนจากช่องแช่แข็งที่ -25 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 30 °C เช่นกัน จงหาอัตรา Q̇_L ที่ความร้อนถูกดึงออกจากช่องแช่แข็ง

T_H = 650 °CT₀ = 30 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

แหล่งกำเนิดเล็กส่งเสียงเท่ากันทุกทิศทาง ระดับเสียงคือ 65 dB ที่ระยะ 10 m จากแหล่งกำเนิด จงหาระดับเสียง β₂ ที่ระยะ 50 m โดยไม่คิดการดูดกลืนและการสะท้อน

β₁ = 65 dBr₁ = 10 mr₂ = 50 m

β₂ = dB

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เกรตติงเลี้ยวเบนมี 800 เส้นต่อมิลลิเมตร แสงความยาวคลื่น 450 nm ตกกระทบเป็นมุมฉาก อันดับสูงสุด m_max ของแถบสว่างสูงสุดที่เห็นได้คือเท่าใด

N = 800 mm⁻¹λ = 450 nm

m_max =

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 35 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/2 = 35 s

คำตอบ

t = 35 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 70 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 38.15 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(2.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 994.7 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·994.7))/(2·4.905) = 2.789 s

ความลึก

d = ½·9.81·2.789² = 38.15 m

คำตอบ

d = 38.15 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.781 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

คำตอบ

a = 2.781 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 29.68 N

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 5.396)/11 = 4.415 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·4.415 + 5.396 = 29.68 N

คำตอบ

T = 29.68 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 18.77 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 55° = 8.03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 55° = 11.47 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

เริ่มต้นและตกลงที่ความสูงเท่ากัน: t = 2v_y/g

t = 2·11.47/9.81 = 2.338 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 8.03·2.338 = 18.77 m

คำตอบ

x = 18.77 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v = 32.54 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 31·cos 30° = 26.85 m/s

v_y0 = 31·sin 30° = 15.5 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(15.5² + 2·9.81·5) = 18.39 m/s

อัตราเร็วขณะกระทบ

v = √(26.85² + 18.39²) = 32.54 m/s

คำตอบ

v = 32.54 m/s

ตรวจสอบด้วยพลังงาน: v² = v₀² + 2gh

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 276.6 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 98.1·0.9397 = 92.18 N

F = μN = 0.25·92.18 = 23.05 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 23.05·12 = 276.6 J

คำตอบ

W_f = 276.6 J

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 9.905 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.25·1) = 12.26 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 12.26 → x = √(2·12.26/2500) = 0.09905 m = 9.905 cm

คำตอบ

x = 9.905 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 0.4444 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·4 = 0.4444 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·4 = 4.444 m/s

คำตอบ

v′₁ = 0.4444 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 537.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.4·(1 − cos 20°) = 0.08443 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.08443) = 1.287 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 5.012·1.287/0.012 = 537.6 m/s

คำตอบ

v = 537.6 m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 36.79 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·1.5 = 36.79 kN

คำตอบ

F = 36.79 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 73.53 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·2.25 = 73.53 kN

คำตอบ

F = 73.53 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₁ = 104.7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็ว

v₁ = Q/A₁ = 0.011/0.007854 = 1.401 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.011/0.001963 = 5.602 m/s

เบอร์นูลลี

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 90 + ½·1000·(5.602² − 1.401²)/1000 = 90 + 14.71 = 104.7 kPa

คำตอบ

p₁ = 104.7 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 243.2 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(150/75)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−37.97) − 58.86 = 243.2 kPa

คำตอบ

p₂ = 243.2 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 536.9 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 40/4.003 = 9.993 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 9.993·8.314·323.1/0.05 = 536.9 kPa

คำตอบ

P = 536.9 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 3.196 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 313.1 K, T₂ = 343.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/600)·(343.1/313.1) = 3.196 L

คำตอบ

V₂ = 3.196 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: η_max = 54.97 %

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/673.1 = 54.97 %

คำตอบ

η_max = 54.97 %

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_L = 121.2 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

งานของเครื่องยนต์

η = 1 − 303.1/923.1 = 0.6716

Ẇ = 0.6716·40 = 26.86 kW

ความร้อนที่ตู้เย็นดึงออก

COP_R = 248.1/(303.1 − 248.1) = 4.512

Q̇_L = 4.512·26.86 = 121.2 kW

คำตอบ

Q̇_L = 121.2 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: β₂ = 51.02 dB

คลื่น: คลื่นคาบเคลื่อนที่ไปหนึ่งความยาวคลื่นในหนึ่งคาบ ดังนั้น v = fλ โดย T = 1/f บนเส้นเชือกที่ตึง v = √(T/μ) โดย T คือแรงตึง และ μ = m/L คือมวลต่อเมตร เสียงในอากาศเคลื่อนที่ด้วยความเร็วประมาณ 343 m/s ที่ 20 °C แสงในสุญญากาศเคลื่อนที่ด้วย c = 3.00 × 10⁸ m/s ความดังวัดบนสเกลลอการิทึม: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB โดย I₀ = 10⁻¹² W/m² ดังนั้นความเข้มเพิ่ม 10 เท่าจะเพิ่ม 10 dB แหล่งกำเนิดแบบจุดกระจายกำลัง P ออกเป็นทรงกลม: I = P/(4πr²)

อัตราส่วนความเข้ม

I₂/I₁ = (10/50)² = 0.04

ระดับเสียงใหม่

β₂ = 65 + 10·log₁₀(0.04) = 51.02 dB

คำตอบ

β₂ = 51.02 dB

ทุกครั้งที่ระยะทางเพิ่มเป็นสองเท่า ระดับเสียงลดลงประมาณ 6 dB

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: m_max = 2

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างเส้น

d = 1/800 mm = 1.25 µm

อันดับสูงสุด

m ≤ d/λ = 1.25 µm/0.45 µm = 2.778 → m_max = 2

คำตอบ

m_max = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers