ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 90 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 6.5 m/s² จนหยุด การเบรกใช้เวลานานเท่าใด หา t

v₀ = 90 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 3.2 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 3.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 9.5 kg และ 2.5 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของมวลทั้งสอง

m₁ = 9.5 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 6.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 2.5 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 6.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 65° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 60 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 65°R = 60 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 27 m/s ที่มุม 50° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน

v₀ = 27 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg เลื่อนลงไป 7 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.3 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 0.5 kgθ = 30°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 10 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4.5 m (μ = 0.2) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 1000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 10 kgh = 4.5 mL = 4.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1000 kg เคลื่อนที่ด้วย 8 m/s ชนรถมวล 1200 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์สูญเสียไปเท่าใด ΔK ในการชน

m₁ = 1000 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.4 kg กระทบผนังด้วย 11 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 11 m/s การสัมผัสใช้เวลา 20 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.4 kgv_in = 11 m/sv_out = 11 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 3 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 2.5 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.62 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 20 mmh = 2.5 mC_d = 0.62g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 300 mm คอคอด 150 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 130 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.98 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 130 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

150 g ของO₂มีปริมาตร V เท่าใดที่ 650 kPa และ 15 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 150 gM = 32 g/molP = 650 kPaT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของN₂ที่ 600 kPa และ 150 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 28.01 g/molP = 600 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 250 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 30 °C เครื่องยนต์รับความร้อน 500 kJ หางานมากที่สุด W_max ที่เครื่องยนต์อาจผลิตได้

T_H = 250 °CT_L = 30 °CQ_H = 500 kJ

W_max = kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์คาร์โนต์สองเครื่องทำงานต่ออนุกรมกัน เครื่องยนต์ A รับความร้อนจากแหล่งที่ 1150 °C และปล่อยความร้อนสู่แหล่งตัวกลางที่อุณหภูมิ T_m เครื่องยนต์ B รับความร้อนทั้งหมดนั้นและปล่อยความร้อนสู่แหล่งที่ 30 °C เครื่องยนต์ทั้งสองมีประสิทธิภาพเชิงความร้อนเท่ากัน จงหา T_m ในหน่วย °C

T_H = 1150 °CT_L = 30 °C

T_m = °C

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

ท่อปลายเปิดทั้งสองข้าง ยาว 0.6 m อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s จงหาความถี่ f₃ ของฮาร์มอนิกที่ 3

v = 343 m/sn = 3L = 0.6 m

f₃ = Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เกรตติงเลี้ยวเบนมี 800 เส้นต่อมิลลิเมตร แสงความยาวคลื่น 450 nm ตกกระทบเป็นมุมฉาก อันดับสูงสุด m_max ของแถบสว่างสูงสุดที่เห็นได้คือเท่าใด

N = 800 mm⁻¹λ = 450 nm

m_max =

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.846 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

เวลาเบรก

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/6.5 = 3.846 s

คำตอบ

t = 3.846 s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 46.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(3.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1098))/(2·4.905) = 3.066 s

ความลึก

d = ½·9.81·3.066² = 46.1 m

คำตอบ

d = 46.1 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.723 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (9.5 − 2.5)·9.81/(9.5 + 2.5) = 5.723 m/s²

คำตอบ

a = 5.723 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 22.14 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 15.94)/9 = 0.9537 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·0.9537 + 15.94 = 22.14 N

คำตอบ

T = 22.14 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 27.72 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·60/sin 130°) = 27.72 m/s

คำตอบ

v₀ = 27.72 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: α = 57.14 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 27·cos 50° = 17.36 m/s

v_y0 = 27·sin 50° = 20.68 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(20.68² + 2·9.81·15) = 26.87 m/s

มุมที่กระทบ

tan α = v_y/v_x = 26.87/17.36 → α = 57.14°

คำตอบ

α = 57.14°

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 8.92 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 4.905·0.866 = 4.248 N

F = μN = 0.3·4.248 = 1.274 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 1.274·7 = 8.92 J

คำตอบ

W_f = 8.92 J

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 84.04 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 98.1·(4.5 − 0.2·4.5) = 353.2 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 353.2 → x = √(2·353.2/1000) = 0.8404 m = 84.04 cm

คำตอบ

x = 84.04 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK = 17455 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·8/2200 = 3.636 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1000·8² = 32000 J

K_after = ½·2200·3.636² = 14545 J

พลังงานที่สูญเสีย

ΔK = 32000 − 14545 = 17455 J

คำตอบ

ΔK = 17455 J

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 440 N

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.4·(11 + 11) = 8.8 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 8.8/0.02 = 440 N

คำตอบ

F_avg = 440 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 88.29 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

คำตอบ

F = 88.29 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 3.8 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·1.5 = 55.18 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.2813/(3.75·1.5) = 3.8 m

คำตอบ

y_cp = 3.8 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 1.364 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.62·0.0003142·7.004 = 0.001364 m³/s = 1.364 L/s

คำตอบ

Q = 1.364 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 101.4 L/s

ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.13 = 16069 Pa

ความเร็วที่คอคอด

สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·16069/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.855 m/s

อัตราการไหลจริง

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.01767·5.855 = 0.1014 m³/s = 101.4 L/s

คำตอบ

Q = 101.4 L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 17.28 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 150/32 = 4.688 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 4.688·8.314·288.1/650 = 17.28 L

คำตอบ

V = 17.28 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 4.777 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273.15 = 423.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 600·28.01/(8.314·423.1) = 4.777 kg/m³

คำตอบ

ρ = 4.777 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: W_max = 210.3 kJ

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 250 + 273.15 = 523.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/523.1 = 42.05 %

งานสูงสุด

W_max = η_max·Q_H = 0.4205·500 = 210.3 kJ

คำตอบ

W_max = 210.3 kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_m = 383.7 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 1150 + 273.15 = 1423 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

ประสิทธิภาพเท่ากัน

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m ให้ T_m² = T_H·T_L

T_m = √(1423·303.1) = 656.8 K = 383.7 °C

คำตอบ

T_m = 383.7 °C

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f₃ = 857.5 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความยาวคลื่นของโหมดนี้

λ = 2L/n = 2·0.6/3 = 0.4 m

ความถี่

f = v/λ = 343/0.4 = 857.5 Hz

คำตอบ

f₃ = 857.5 Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: m_max = 2

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างเส้น

d = 1/800 mm = 1.25 µm

อันดับสูงสุด

m ≤ d/λ = 1.25 µm/0.45 µm = 2.778 → m_max = 2

คำตอบ

m_max = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers