ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 25 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 6 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 25 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ด้วยความเร็ว 14 m/s จากขอบหลังคาที่สูงจากพื้น 15 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ และใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นหลังจากโยนไปนานเท่าใด หา t

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

เลื่อนหนัก 15 kg ถูกดึงไปบนหิมะราบด้วยเชือกที่ทำมุม 15° เหนือแนวนอนด้วยแรง 80 N สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของเลื่อน

m = 15 kgF = 80 Nθ = 15°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 140 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 6 kg ก้อนที่หนัก 3 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgF = 140 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 30° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 38 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 60° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 55 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 13 m/sθ = 60°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 10 kg เลื่อนลงไป 7 m ตามพื้นเอียงที่ทำมุม 45° กับแนวนอน โดยมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ 0.2 หางาน W_f ที่ทำต้านแรงเสียดทาน

m = 10 kgθ = 45°μ = 0.2d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.งานและพลังงานยาก

รถเข็น 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 10.5 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 3 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป

m = 2 kgh = 10.5 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3.5 kg เคลื่อนที่ด้วย 11 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 4 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.3 kg กระทบผนังด้วย 26 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 16 m/s การสัมผัสใช้เวลา 40 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.3 kgv_in = 26 m/sv_out = 16 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 6 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.63 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 25 mmh = 6 mC_d = 0.63g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 50 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 3 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 300 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 300 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 20 L บรรจุCH₄ปริมาณ 440 g ที่ 5 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 440 gM = 16.04 g/molV = 20 LT = 5 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

N₂ปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 350 kPa, 20 L, 35 °C ไปเป็น 500 kPa และ 90 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 350 kPaV₁ = 20 LT₁ = 35 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 750 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 25 °C เครื่องยนต์รับความร้อน 4700 kJ หางานมากที่สุด W_max ที่เครื่องยนต์อาจผลิตได้

T_H = 750 °CT_L = 25 °CQ_H = 4700 kJ

W_max = kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนรักษาอุณหภูมิบ้านไว้ที่ 21 °C ขณะที่ภายนอกเป็น 7 °C โดยส่งความร้อน 11 kW ให้บ้าน หากำลังป้อนเข้าต่ำสุด Ẇ_min

T_H = 21 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 11 kW

Ẇ_min = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุอยู่หน้าเลนส์รวมแสงบาง 30 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 5 cm จงหากำลังขยาย m (เป็นลบสำหรับภาพหัวกลับ)

d_o = 30 cmf = 5 cm

m =

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เลนส์บางสองอันมีแกนร่วมกัน ห่างกัน 50 cm: เลนส์ 1 มี f₁ = 15 cm และเลนส์ 2 มี f₂ = −20 cm วัตถุอยู่หน้าเลนส์ 1 เป็นระยะ 12 cm จงหาตำแหน่ง d_i2 ของภาพสุดท้ายโดยวัดจากเลนส์ 2 (เป็นบวกเมื่ออยู่ไกลกว่าเลนส์ 2 ใช้ข้อตกลงภาพจริงเป็นบวก)

f₁ = 15 cmf₂ = −20 cms = 50 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 8.333 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·25/6 = 8.333 s

คำตอบ

t = 8.333 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 50 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 3.684 s

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

สมการการเคลื่อนที่

ทิศขึ้นเป็นบวก และพื้นอยู่ต่ำกว่าจุดเริ่มต้น h₀

−15 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 15 = 0

แก้สมการกำลังสอง

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t = (14 + √(14² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.684 s

คำตอบ

t = 3.684 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 3.466 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตั้งฉาก

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 80·sin 15° = 126.4 N

แรงในแนวนอน

m·a = F·cos θ − μ·N = 77.27 − 25.29

a = 51.99/15 = 3.466 m/s²

คำตอบ

a = 3.466 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 46.67 N

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 8.829)/9 = 14.57 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(14.57 + 0.981) = 46.67 N

คำตอบ

T = 46.67 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 18.4 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 30° = 32.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 30° = 19 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

คำตอบ

H = 18.4 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.687 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 60° = 6.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 60° = 11.26 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 55 + 11.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (11.26 + √(126.7 + 1079))/9.81 = 4.687 s

คำตอบ

t = 4.687 s

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: W_f = 97.11 J

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

แรงเสียดทาน

N = mg·cos θ = 98.1·0.7071 = 69.37 N

F = μN = 0.2·69.37 = 13.87 N

งานต้านแรงเสียดทาน

W_f = F·d = 13.87·7 = 97.11 J

คำตอบ

W_f = 97.11 J

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: N = 39.24 N

อัตราเร็วที่จุดสูงสุด

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(10.5 − 6) = 88.29 m²/s²

แรงที่จุดสูงสุด

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

N = mv²/R − mg = 2·88.29/3 − 19.62 = 39.24 N

คำตอบ

N = 39.24 N

รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 10.27 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·11 = −0.7333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·11 = 10.27 m/s

คำตอบ

v′₂ = 10.27 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 315 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.3·(16 + 26) = 12.6 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 12.6/0.04 = 315 N

คำตอบ

F_avg = 315 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 176.6 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·4.5 = 176.6 kN

คำตอบ

F = 176.6 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 4.667 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·9 = 500.6 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 6.75/(4.5·9) = 4.667 m

คำตอบ

y_cp = 4.667 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 3.355 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.63·0.0004909·10.85 = 0.003355 m³/s = 3.355 L/s

คำตอบ

Q = 3.355 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 270.1 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−0.5078) − 29.43 = 270.1 kPa

คำตอบ

p₂ = 270.1 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 3172 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 440/16.04 = 27.43 mol

T = 5 + 273.15 = 278.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 27.43·8.314·278.1/0.02 = 3172 kPa

คำตอบ

P = 3172 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 16.5 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 308.1 K, T₂ = 363.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(350/500)·(363.1/308.1) = 16.5 L

คำตอบ

V₂ = 16.5 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: W_max = 3330 kJ

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/1023 = 70.86 %

งานสูงสุด

W_max = η_max·Q_H = 0.7086·4700 = 3330 kJ

คำตอบ

W_max = 3330 kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ_min = 0.5235 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

COP ที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 280.1) = 21.01

กำลังต่ำสุด

เครื่องผันกลับได้ต้องการงานน้อยที่สุด ซึ่งมี COP สูงที่สุด

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 11/21.01 = 0.5235 kW

คำตอบ

Ẇ_min = 0.5235 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: m = −0.2

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/30

d_i = 6 cm

กำลังขยาย

m = −d_i/d_o = −6/30 = −0.2

คำตอบ

m = −0.2

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i2 = −16.92 cm

ภาพของเลนส์ 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/12 → d_i1 = −60 cm

วัตถุของเลนส์ 2

d_o2 = 50 − (−60) = 110 cm

ภาพสุดท้าย

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/110 → d_i2 = −16.92 cm

คำตอบ

d_i2 = −16.92 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers