ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

มอเตอร์เหนี่ยวนำสามเฟสให้กำลังกลขาออก 75 kW ที่โหลดเต็มพิกัด ที่โหลดนี้ประสิทธิภาพ 88% และตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง แหล่งจ่ายมีแรงดันสาย–สาย 690 V หากระแสสาย I_L

P_out = 75 kWη = 88%cos φ = 0.9V_L = 690 V

I_L = A

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 250 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.78 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 480 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 250 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

เครื่องขยายเสียงที่มีความต้านทานขาออก 2304 Ω ขับลำโพง 16 Ω ผ่านหม้อแปลงอุดมคติ เพื่อให้ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ลำโพงต้องดูเหมือน 2304 Ω จากเครื่องขยาย หาอัตราส่วนจำนวนรอบ a = N₁/N₂

R_s = 2304 ΩR_L = 16 Ω

a =

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 50 kVA มีการสูญเสียในแกน 300 W และการสูญเสียในทองแดง 900 W ที่โหลดพิกัด จ่ายโหลด 25% ของ kVA พิกัด ที่ตัวประกอบกำลัง 0.85 ล้าหลัง หาการสูญเสียรวม P_loss เป็นวัตต์ที่โหลดนี้

S = 50 kVAP_core = 300 WP_cu,fl = 900 Wx = 0.25pf = 0.85

P_loss = W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดที่มีอิมพีแดนซ์ Z = 12 + j16 Ω ต่อกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 230 V (rms) จงหากำลังจริง P ที่มันดูดกลืน

V = 230 VZ = 12 + j16 Ω

P = W

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 5 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V 60 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.98 หากำลังรีแอกทีฟ Q_C ที่ตัวเก็บประจุต้องจ่าย

P = 5 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.98V = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 500 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 10 µF

P = W

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 100 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f₀ ของวงจร

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงที่มี k = 0.75 N·m/A และ R_a = 1 Ω ต่อกับ 48 V จงหาแรงบิดสตอลล์ T_stall ซึ่งเป็นแรงบิดที่ความเร็วศูนย์

V = 48 Vk = 0.75 N·m/AR_a = 1 Ω

T_stall = N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงกระตุ้นแยกที่ 120 V (R_a = 2 Ω) หมุนที่ 1800 rpm ด้วยกระแสอาร์เมเจอร์ 8 A โหลดเปลี่ยนไปและกระแสกลายเป็น 3.2 A โดยสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยน จงหาความเร็วใหม่ n₂

V = 120 VR_a = 2 Ωn₁ = 1800 rpmI_a1 = 8 AI_a2 = 3.2 A

n₂ = rpm

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: I_L = 79.24 A

กำลังไฟฟ้าขาเข้า

P_in = P_out/η = 75/0.88 = 85.23 kW

กระแสในสาย

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 85227/(√3·690·0.9) = 79.24 A

คำตอบ

I_L = 79.24 A

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 545.2 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 250·tan(acos 0.78) = 250·0.8023 = 200.6 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.95) = 250·0.3287 = 82.17 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 118.4 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 39466/(314.2·480²) = 545.2 µF

คำตอบ

C_ph = 545.2 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: a = 12

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

จับคู่โหลดที่อ้างอิงแล้ว

a²·16 = 2304

a = √(2304/16) = √144 = 12

คำตอบ

a = 12

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_loss = 356.3 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.0625·900 = 56.25 W

การสูญเสียรวม

การสูญเสียในแกนเท่ากันทุกโหลด

P_loss = 300 + 56.25 = 356.3 W

คำตอบ

P_loss = 356.3 W

ประสิทธิภาพที่โหลดนี้คือ η = 96.76%

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: P = 1587 W

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กระแส

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I = V/|Z| = 230/20 = 11.5 A

กำลังจริง

P = I²·R = 11.5²·12 = 1587 W

คำตอบ

P = 1587 W

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q_C = 2.735 kvar

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(36.87°) = 3.75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(11.48°) = 1.015 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 2.735 kvar

คำตอบ

Q_C = 2.735 kvar

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: P = 19.69 W

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 314.2 Ω, X_C = 31.83 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(30² + (282.3)²) = 283.9 Ω

กำลังจริง

ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด

I = 230/283.9 = 0.8101 A

P = I²·R = 0.8101²·30 = 19.69 W

คำตอบ

P = 19.69 W

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: f₀ = 87.61 Hz

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·22·10⁻⁶)) = 87.61 Hz

คำตอบ

f₀ = 87.61 Hz

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: T_stall = 36 N·m

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสสตอลล์

I_a = V/R_a = 48/1 = 48 A

แรงบิดสตอลล์

T_stall = 0.75·48 = 36 N·m

คำตอบ

T_stall = 36 N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n₂ = 1966 rpm

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านก่อนและหลัง

E₁ = 120 − 8·2 = 104 V

E₂ = 120 − 3.2·2 = 113.6 V

ความเร็วใหม่

n₂ = 1800·113.6/104 = 1966 rpm

คำตอบ

n₂ = 1966 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems