ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Δ สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 7 + j24 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 400 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 400 VZ = 7 + j24 Ω ต่อเฟส

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 120 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.72 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 480 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.92 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Y หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 120 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงอุดมคติที่มีอัตราส่วนจำนวนรอบ N₁:N₂ = 2:1 ป้อน 240 V ที่ขดลวดปฐมภูมิ ต่อตัวต้านทาน 24 Ω คร่อมขดลวดทุติยภูมิ หากระแสปฐมภูมิ I₁

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 24 Ω

I₁ = A

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 25 kVA มีการสูญเสียในแกน 100 W และการสูญเสียในทองแดง 150 W ที่โหลดพิกัด จ่ายโหลด 75% ของ kVA พิกัด ที่ตัวประกอบกำลัง 0.95 ล้าหลัง หาการสูญเสียรวม P_loss เป็นวัตต์ที่โหลดนี้

S = 25 kVAP_core = 100 WP_cu,fl = 150 Wx = 0.75pf = 0.95

P_loss = W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 27 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V หากำลังรีแอกทีฟ Q ที่ดึงมา

P = 27 kWpf = 0.65V = 400 V

Q = kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

แหล่งกำเนิด 100 V (rms) 60 Hz มีอิมพีแดนซ์ภายใน Z_s = 2 + j5 Ω เลือกอิมพีแดนซ์โหลด Z_L ได้อย่างอิสระ จงหากำลังจริงสูงสุด P_max ที่ส่งให้โหลดได้

V_s = 100 V (rms)f = 60 HzZ_s = 2 + j5 Ω

P_max = W

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 100 V (rms) 50 Hz หากระแส rms I

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 100 mH

I = A

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

ตัวต้านทาน R₁ ต่ออนุกรมกับ R₂ ที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C คร่อมแหล่งจ่าย 230 V (rms) 50 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 230 V (rms)f = 50 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 150 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงที่มี k = 0.6 N·m/A และ R_a = 0.5 Ω ต่อกับ 48 V จงหาแรงบิดสตอลล์ T_stall ซึ่งเป็นแรงบิดที่ความเร็วศูนย์

V = 48 Vk = 0.6 N·m/AR_a = 0.5 Ω

T_stall = N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงขนาดเล็กมีความต้านทานอาร์เมเจอร์ 1 Ω และทำงานจาก 120 V ถ้าไม่คิดการสูญเสียจากการหมุน จงหากำลังกลสูงสุด P_max ที่มันพัฒนาได้ที่ความเร็วใด ๆ

V = 120 VR_a = 1 Ω

P_max = W

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 5.376 kW

แรงดันเฟส

V_ph = V_L = 400 V

กระแสเฟส

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 400/25 = 16 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·7 = 5.376 kW

คำตอบ

P = 5.376 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.28 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 891.7 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 120·tan(acos 0.72) = 120·0.9639 = 115.7 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.92) = 120·0.426 = 51.12 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 64.54 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Y ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสายกับจุดสตาร์

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21514/(314.2·277.1²) = 891.7 µF

คำตอบ

C_ph = 891.7 µF

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I₁ = 2.5 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

แรงดันและกระแสทุติยภูมิ

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/24 = 5 A

กระแสด้านปฐมภูมิ

หม้อแปลงอุดมคติไม่มีการสูญเสีย: V₁·I₁ = V₂·I₂

I₁ = I₂/2 = 2.5 A

คำตอบ

I₁ = 2.5 A

ตรวจสอบ: โหลดที่มองจากด้านปฐมภูมิคือ a²·R_L = 96 Ω และ 240/96 ให้กระแสเท่ากัน

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_loss = 184.4 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.5625·150 = 84.38 W

การสูญเสียรวม

การสูญเสียในแกนเท่ากันทุกโหลด

P_loss = 100 + 84.38 = 184.4 W

คำตอบ

P_loss = 184.4 W

ประสิทธิภาพที่โหลดนี้คือ η = 98.98%

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q = 31.57 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

มุม

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

กำลังรีแอกทีฟ

Q = P·tan φ = 27·1.169 = 31.57 kvar

คำตอบ

Q = 31.57 kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: P_max = 1250 W

การจับคู่สังยุค

รีแอกแตนซ์ของโหลดหักล้างรีแอกแตนซ์ของแหล่งกำเนิด และความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานแหล่งกำเนิด

Z_L = Z_s* = 2 − j5 Ω

กำลังสูงสุด

I = V_s/(2R_s) = 100/4 = 25 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·2) = 1250 W

คำตอบ

P_max = 1250 W

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 3.759 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = ωL = 2π·50·0.1 = 31.42 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 100/50 = 2 A

I_X = V/X_L = 100/31.42 = 3.183 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 3.183²) = 3.759 A

คำตอบ

I = 3.759 A

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 149.4 Ω

รีแอกแตนซ์

X_C = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

ส่วนที่ต่อขนาน

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคเชิงซ้อนเพื่อแยก Z_p เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 122.7 − j57.84 Ω

อิมพีแดนซ์รวม

Z = 15 + 122.7 − j57.84 = 137.7 − j57.84 Ω

|Z| = √(137.7² + 57.84²) = 149.4 Ω

คำตอบ

|Z| = 149.4 Ω

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: T_stall = 57.6 N·m

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสสตอลล์

I_a = V/R_a = 48/0.5 = 96 A

แรงบิดสตอลล์

T_stall = 0.6·96 = 57.6 N·m

คำตอบ

T_stall = 57.6 N·m

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: P_max = 3600 W

กำลังในรูปฟังก์ชันของแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

กำลังสูงสุด

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·1) = 3600 W

คำตอบ

P_max = 3600 W

ที่จุดนี้ประสิทธิภาพเพียง 50 % มอเตอร์จริงจึงทำงานที่ความเร็วสูงกว่าครึ่งหนึ่งมาก

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems