ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
การต่อแบบ Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
กำลังจริงรวม
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว
Δ: VL Y: VL/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์
Pin = Pout/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ
a = N1/N2 = V1/V2
อัตราส่วนกระแส
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
กระแสพิกัด
I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง
Z1′ = a²·ZL
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน
Pcu = x²·Pcu,fl
ประสิทธิภาพ
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด
x = √(Pcore/Pcu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง
P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ
Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ
S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง
pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์
V = E + IaRa
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด
E = k·ω, T = k·Ia
อัตราเร็ว
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
กำลัง
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
การเริ่มเดิน
Istart = V/(Ra + Rst)
การควบคุมความเร็ว
SR = (n0 − nFL)/nFL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด
Pmax = V²/(4Ra)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์
Va = D·Vdc

วิธีการ

  1. วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน Ra และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
  2. ใช้ V = E + Ia·Ra เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
  3. ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·Ia สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
  4. สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·Ia ลบการสูญเสียในทองแดง Ia²·Ra แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง
ABCVL​ = 400 VIL​ = 60 Acos φ = 0.85ล้าหลัง

โหลดสามเฟสสมดุลดึงกระแสสาย 60 A จากแหล่งจ่ายที่มีแรงดันสาย–สาย 400 V ตัวประกอบกำลังคือ 0.85 ล้าหลัง หากำลังจริงรวม P ที่โหลดใช้ใน kW

VL = 400 VIL = 60 Acos φ = 0.85
P = kW
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 50 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.72 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 400 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม หากำลังรีแอกทีฟรวม QC ที่ชุดตัวเก็บประจุต้องจ่าย ใน kvar

P = 50 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง
10 ΩN1​N2​250 Ω

เครื่องขยายเสียงที่มีความต้านทานขาออก 250 Ω ขับลำโพง 10 Ω ผ่านหม้อแปลงอุดมคติ เพื่อให้ถ่ายโอนกำลังสูงสุด ลำโพงต้องดูเหมือน 250 Ω จากเครื่องขยาย หาอัตราส่วนจำนวนรอบ a = N₁/N₂

Rs = 250 ΩRL = 10 Ω
a =
4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก
500 kVA

หม้อแปลงเฟสเดียว 500 kVA มีการสูญเสียในแกน 1500 W และการสูญเสียในทองแดง 6000 W ที่โหลดพิกัด ที่โหลดเท่าใด Sη,max ใน kVA ประสิทธิภาพจึงสูงสุด

S = 500 kVAPcore = 1500 WPcu,fl = 6000 W
Sη,max = kVA
5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง
P = 35 kWQ = ?Sφ

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 35 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.75 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 230 V หากำลังรีแอกทีฟ Q ที่ดึงมา

P = 35 kWpf = 0.75V = 230 V
Q = kvar
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก
12 V60 HzRs​ = 8 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

แหล่งกำเนิด 12 V (rms) 60 Hz มีอิมพีแดนซ์ภายใน Zs = 8 + j15 Ω เลือกอิมพีแดนซ์โหลด ZL ได้อย่างอิสระ จงหากำลังจริงสูงสุด Pmax ที่ส่งให้โหลดได้

Vs = 12 V (rms)f = 60 HzZs = 8 + j15 Ω
Pmax = W
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
120 V60 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 22 µF

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 60 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 22 µF
φ = °
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
VfR = 5 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

วงจร RLC อนุกรมมี R = 5 Ω, L = 50 mH และ C = 2.2 µF จงหาแบนด์วิดท์ B (ความกว้างของแถบระหว่างความถี่กำลังครึ่ง) ใน Hz

R = 5 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
B = Hz
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง
T (N·m)n (rpm)6 N·mn0​n = ?

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 0.75 N·m/A, Ra = 2 Ω) ทำงานจาก 240 V และขับโหลดแรงบิด 6 N·m จงหาความเร็ว n ในหน่วย rpm

V = 240 Vk = 0.75 N·m/ARa = 2 ΩT = 6 N·m
n = rpm
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก
+−240 VRst​ = ?Ra​ = 0.4 Ω25 AM+−E = 0n = 0T

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง 240 V มีความต้านทานอาร์เมเจอร์ 0.4 Ω จงหาความต้านทานเริ่มเดินแบบอนุกรม Rst ที่จำกัดกระแสเริ่มเดินไว้ที่ 25 A

V = 240 VRa = 0.4 ΩImax = 25 A
Rst = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 35.33 kW

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ

กำลังปรากฏ

S = √3·VL·IL = √3·400·60 = 41.57 kVA

กำลังจริง

P = S·cos φ = 41.57·0.85 = 35.33 kW

คำตอบ

P = 35.33 kW
2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: QC = 31.76 kvar

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส VL = √3·Vph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส IL = √3·Iph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ QC = P·(tan φ1 − tan φ2) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ QC/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: VL ในชุดแบบ Δ, VL/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q1 = 50·tan(acos 0.72) = 50·0.9639 = 48.19 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

QC = Q1 − Q2 = 31.76 kvar

คำตอบ

QC = 31.76 kvar
3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: a = 5

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

จับคู่โหลดที่อ้างอิงแล้ว

a²·10 = 250
a = √(250/10) = √25 = 5

คำตอบ

a = 5
4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: Sη,max = 250 kVA

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·Pcu,fl ประสิทธิภาพ η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu) โดย Pout = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

x²·6000 = 1500 → x = √(1500/6000) = 0.5

โหลดที่ประสิทธิภาพสูงสุด

Sη,max = x·S = 0.5·500 = 250 kVA

คำตอบ

Sη,max = 250 kVA
5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q = 30.87 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

มุม

φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819

กำลังรีแอกทีฟ

Q = P·tan φ = 35·0.8819 = 30.87 kvar

คำตอบ

Q = 30.87 kvar
6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Pmax = 4.5 W

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

การจับคู่สังยุค

รีแอกแตนซ์ของโหลดหักล้างรีแอกแตนซ์ของแหล่งกำเนิด และความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานแหล่งกำเนิด

ZL = Zs* = 8 − j15 Ω

กำลังสูงสุด

I = Vs/(2Rs) = 12/16 = 0.75 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 12²/(4·8) = 4.5 W

คำตอบ

Pmax = 4.5 W
7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = −52.01 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−64.02)²) = 81.23 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−64.02/50) = −52.01°

คำตอบ

φ = −52.01°
8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: B = 15.92 Hz

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

ความถี่เรโซแนนซ์

f0 = 1/(2π·√(0.05·2.2·10⁻⁶)) = 479.9 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.05/(2.2·10⁻⁶)) = 30.15

แบนด์วิดท์

B = f0/Q = 479.9/30.15 = 15.92 Hz

คำตอบ

B = 15.92 Hz
9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: n = 2852 rpm

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

กระแสอาร์เมเจอร์

Ia = T/k = 6/0.75 = 8 A

แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและความเร็ว

E = 240 − 8·2 = 224 V
ω = E/k = 298.7 rad/s → n = 2852 rpm

คำตอบ

n = 2852 rpm
10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: Rst = 9.2 Ω

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน Ra อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + Ia·Ra แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·Ia โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·Ia = T·ω กำลังอินพุตคือ V·Ia และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง Ia²Ra กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − Ra·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/Ra เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/Ra จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

ความต้านทานรวม

Ra + Rst = 240/25 = 9.6 Ω

ตัวต้านทานเริ่มเดิน

Rst = 9.6 − 0.4 = 9.2 Ω

คำตอบ

Rst = 9.2 Ω

ตัวต้านทานถูกตัดออกทีละขั้นเมื่อมอเตอร์เร็วขึ้นและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มขึ้น

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems