ระบบกำลังและเครื่องจักรกลไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

วงจรอาร์เมเจอร์: V = E + I_aR_a
แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านและแรงบิด: E = k·ω, T = k·I_a
อัตราเร็ว: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
ความเร็วขณะไม่มีโหลดและแรงบิดสตอลล์: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
กำลัง: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
การเริ่มเดิน: I_start = V/(R_a + R_st)
การควบคุมความเร็ว: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
กำลังที่พัฒนาสูงสุด: P_max = V²/(4R_a)
ไดรฟ์ช็อปเปอร์: V_a = D·V_dc

วิธีการ

วาดวงจรอาร์เมเจอร์: แหล่งจ่าย V ความต้านทาน R_a และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E อนุกรมกัน
ใช้ V = E + I_a·R_a เชื่อมแรงดัน กระแส และแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน
ใช้ E = k·ω สำหรับความเร็ว และ T = k·I_a สำหรับแรงบิด โดย ω = 2π·n/60
สำหรับกำลังและประสิทธิภาพ เริ่มจาก V·I_a ลบการสูญเสียในทองแดง I_a²·R_a แล้วลบการสูญเสียจากการหมุน

2โจทย์ฝึก

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดสามเฟสสมดุลดึงกระแสสาย 75 A จากแหล่งจ่ายที่มีแรงดันสาย–สาย 208 V ตัวประกอบกำลังคือ 0.75 ล้าหลัง หากำลังจริงรวม P ที่โหลดใช้ใน kW

V_L = 208 VI_L = 75 Acos φ = 0.75

P = kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 50 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม หากำลังรีแอกทีฟรวม Q_C ที่ชุดตัวเก็บประจุต้องจ่าย ใน kvar

P = 50 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.95V_L = 690 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงเฟสเดียว 75 kVA 10000/400 V ทำงานที่โหลดพิกัด ถือว่าเป็นอุดมคติ หากระแส I_LV ในขดลวดแรงดันต่ำ

S = 75 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 75 kVA มีการสูญเสียในแกน 450 W ที่โหลดพิกัดและตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง ประสิทธิภาพคือ 98.2% หาการสูญเสียในทองแดงที่โหลดเต็ม P_cu,fl เป็นวัตต์

S = 75 kVAP_core = 450 Wpf = 0.8η = 98.2%

P_cu,fl = W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

มอเตอร์เฟสเดียวใช้กำลัง 12 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.6 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 240 V หากำลังรีแอกทีฟ Q ที่ดึงมา

P = 12 kWpf = 0.6V = 240 V

Q = kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 150 kVA จ่ายให้โหลด 52 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 แบบตามหลัง จะเพิ่มกำลังจริง ΔP ได้อีกเท่าใดในรูปโหลดตัวต้านทาน (ตัวประกอบกำลังเท่ากับหนึ่ง) ก่อนที่หม้อแปลงจะถึงพิกัด kVA

S_max = 150 kVAP₁ = 52 kWpf₁ = 0.8

ΔP = kW

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 24 V (rms) 500 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมมี R = 100 Ω, L = 5 mH และ C = 0.01 µF จงหาแบนด์วิดท์ B (ความกว้างของแถบระหว่างความถี่กำลังครึ่ง) ใน Hz

R = 100 ΩL = 5 mHC = 0.01 µF

B = Hz

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงปานกลาง

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 0.3 V·s/rad, R_a = 0.2 Ω) ทำงานจาก 110 V ที่เต็มโหลดดึงกระแส 20 A ถ้าไม่คิดกระแสขณะไม่มีโหลด จงหาการควบคุมความเร็ว SR = (n₀ − n_FL)/n_FL เป็นเปอร์เซ็นต์

V = 110 Vk = 0.3 V·s/radR_a = 0.2 ΩI_FL = 20 A

SR = %

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงยาก

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง (k = 0.12 V·s/rad, R_a = 1 Ω) บนแหล่งจ่ายคงที่ 24 V ขับโหลด 0.24 N·m จงหาความต้านทานอนุกรม R_s ที่ทำให้มันช้าลงเหลือ 500 rpm

V = 24 Vk = 0.12 V·s/radR_a = 1 ΩT = 0.24 N·mn = 500 rpm

R_s = Ω

3สารละลาย

1.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 20.26 kW

กำลังปรากฏ

S = √3·V_L·I_L = √3·208·75 = 27.02 kVA

กำลังจริง

P = S·cos φ = 27.02·0.75 = 20.26 kW

คำตอบ

P = 20.26 kW

2.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: Q_C = 34.58 kvar

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34.58 kvar

คำตอบ

Q_C = 34.58 kvar

3.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I_LV = 187.5 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

กระแสพิกัด

ขดลวดทั้งสองมีกำลังปรากฏเท่ากัน

I_LV = S/V = 75000/400 = 187.5 A

คำตอบ

I_LV = 187.5 A

4.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_cu,fl = 649.8 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

กำลังขาออกและขาเข้า

P_out = 75·0.8 = 60 kW

P_in = 60000/0.982 = 61100 W

การสูญเสียรวมและการสูญเสียในทองแดง

P_loss = 61100 − 60000 = 1100 W

P_cu,fl = 1100 − 450 = 649.8 W

คำตอบ

P_cu,fl = 649.8 W

5.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q = 16 kvar

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

มุม

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

กำลังรีแอกทีฟ

Q = P·tan φ = 12·1.333 = 16 kvar

คำตอบ

Q = 16 kvar

6.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: ΔP = 92.84 kW

กำลังรีแอกทีฟของโหลดเดิม

Q₁ = 52·tan(arccos 0.8) = 39 kvar

กำลังจริงรวมที่มากที่สุด

ที่พิกัดเต็ม S = S_max และ Q ไม่เปลี่ยนจากโหลดตัวต้านทาน

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 39²) = 144.8 kW

กำลังจริงที่เพิ่มได้

ΔP = 144.8 − 52 = 92.84 kW

คำตอบ

ΔP = 92.84 kW

7.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 84.36 Ω

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = ωL = 2π·500·0.05 = 157.1 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 24/100 = 0.24 A

I_X = V/X_L = 24/157.1 = 0.1528 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.24² + 0.1528²) = 0.2845 A

อิมพีแดนซ์

|Z| = V/I = 24/0.2845 = 84.36 Ω

คำตอบ

|Z| = 84.36 Ω

8.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: B = 3183 Hz

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = 1/(2π·√(0.005·0.01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.005/(0.01·10⁻⁶)) = 7.071

แบนด์วิดท์

B = f₀/Q = 22508/7.071 = 3183 Hz

คำตอบ

B = 3183 Hz

9.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: SR = 3.774 %

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: อาร์เมเจอร์คือความต้านทาน R_a อนุกรมกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน E ดังนั้น V = E + I_a·R_a แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้านเพิ่มตามความเร็ว E = k·ω และแรงบิดเพิ่มตามกระแส T = k·I_a โดยใช้ค่าคงที่มอเตอร์ k ตัวเดียวกัน (V·s/rad = N·m/A) ในหน่วย SI แปลงความเร็วด้วย ω = 2π·n/60 กำลังที่พัฒนาขึ้นคือ E·I_a = T·ω กำลังอินพุตคือ V·I_a และส่วนต่างคือการสูญเสียในทองแดง I_a²R_a กับการสูญเสียจากการหมุน ความเร็วลดลงเป็นเส้นตรงตามแรงบิด ω = V/k − R_a·T/k² จากความเร็วขณะไม่มีโหลด V/k ลงไปเป็นศูนย์ที่แรงบิดสตอลล์ k·V/R_a เมื่อหยุดนิ่ง E = 0 ดังนั้นกระแสเริ่มเดิน V/R_a จึงมีค่ามาก เว้นแต่ใช้ตัวต้านทานจำกัด

ความเร็วขณะไม่มีโหลดและขณะเต็มโหลด

n₀ = 60·110/(2π·0.3) = 3501 rpm

n_FL = 60·(110 − 20·0.2)/(2π·0.3) = 3374 rpm

การควบคุมความเร็ว

SR = (3501 − 3374)/3374·100 = 3.774 %

คำตอบ

SR = 3.774 %

10.มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง

คำตอบ: R_s = 7.858 Ω

กระแสและแรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน

I_a = 0.24/0.12 = 2 A

E = 0.12·52.36 = 6.283 V

ความต้านทานอนุกรม

R_a + R_s = (24 − 6.283)/2 = 8.858 Ω

R_s = 7.858 Ω

คำตอบ

R_s = 7.858 Ω

ตัวต้านทานสิ้นเปลืองกำลัง 31.43 W ส่วนช็อปเปอร์ควบคุมความเร็วด้วยการสูญเสียที่น้อยกว่ามาก

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems